Le puzzle de Lewis Carroll

par Jean Marie Champeau 15 Janvier 2021, 11:03 illusion curiosité

Lewis Carroll est non seulement connu pour avoir écrit la célèbre histoire d'Alice au pays des merveilles, mais également pour ses paradoxes dont celui du puzzle présenté ici. Car il était aussi professeur de mathématiques à l'université d'Oxford.

Présentation du puzzle

triangle de Lewis Caroll
Fig 1

Sur une feuille quadrillée, dessinons un ensemble de figures.
En commençant par le bas :

- Un triangle, rouge, de 3 carreaux verticalement et horizontalement 8 carreaux.
- Une pièce en escalier, verte, de 2 carreaux verticalement, la base de 5 carreaux et au dessus 3 carreaux.
- Une pièce en escalier inversé, jaune, de 2 carreaux verticalement, la base de 2 carreaux et au dessus 5 carreaux.
- Un triangle, bleu, de 2 carreaux verticalement et horizontalement 5 carreaux.

Si on combine ces pièces différemment, en mettant le triangle rouge en haut et le triangle bleu en bas, cela produit un espace vide entre les pièces en escalier.

Triangle avec un carré manquant
Fig 2

 

Explication

Dans cette expérience, Lewis Carroll a délibérément construit un montage destiné à surprendre l'esprit humain. Il joue sur le fait que les deux découpes non horizontales réalisées n'ont pas des angles identiques et ne sont donc pas identiques.


Si l’on observe bien la figure 3 ci dessous, qui la figure 1 où l’on a tracé l’hypoténuse en trait fin bleu, on voit un léger espace qui correspond au carré « manquant », d’où le paradoxe.

triangle avec le tracé de l'hipoténuse
Fig 3

En effet, notre système visuel "corrige" automatiquement ces petites imperfections pour ne retenir que la forme rectangulaire globale. Bien entendu, en se concentrant sur ce rectangle, nous sommes en général capables de percevoir l'origine du paradoxe. 

Un simple calcul des surfaces va nous le démontrer :

La surface totale du rectangle dans lequel s’inscrit le triangle en nombre de carreaux = 5 x 13  = 65 

Surface du triangle rouge    = 3 x 8 / 2    =  12         
Surface du triangle bleu       = 2 x 5 / 2    =  5 
Surface de la pièce jaune           =  7
Surface de la pièce verte            =  8
                TOTAL    = 32

La surface d’un triangle est la moitié du rectangle dans lequel il s’inscrit donc le « rectangle » circonscrit devrait faire 32 x 2 = 64 carreaux.


On a une différence de 1 carreau.

Bonus

En réalité les proportions des différentes pièces n'ont pas été choisies au hasard (3, 5 et 8 dans notre exemple). On peut s'amuser à réaliser l'expérience en choisissant trois nombres au hasard. Mais on s’aperçoit que certaines combinaisons fonctionnent beaucoup mieux que d'autres. 


Les triplets des chiffres qui fonctionnent bien correspondent à une suite bien connue des mathématiciens et qu’on retrouve partout dans la nature, en particulier dans les plantes. Il s’agit de la suite du célèbre mathématicien italien Leonardo Fibonacci. 

Cette suite est construite de la façon suivante:
A partir de 1 on fabrique le nombre suivant avec la somme des deux précédents :


0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,  etc. . .     

coin des matheux

    • u0 = 0,
    • u1 = 1,
    • u2 = 1,
    • un+2 = un+1 + un
Notre exemple a donc utilisé les termes u4, u5 et u6 de cette suite.
Pour un rang donné (donc un triplet de valeurs successives de la suite), nous pouvons calculer les aires des rectangles correspondant à notre manipulation.

On montre facilement que les aires des deux rectangles circonscrits vont toujours différer d'une unité et ce quel que soit le rang considéré. Cette unité va donc bien être répartie sur la totalité de la longueur du rectangle pour tous les triplets appartenant à cette suite, et plus les termes auront un rang n élevé, plus les différences entre les pièces voisines vont s'amenuiser pour ne plus être perceptibles par l’œil humain.

Retour sur terre

Les nombres de la suite de Fibonacci progressent environ de 1,6. . .

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,  etc. . .   

 
3/2= 1,5,     5/3= 1,66,    8/5=1,6,    13/8=1,625,        21/13=1,615
Il existe un nombre connu depuis l’antiquité (c’est la proportion du Parthénon par exemple) et qui passe pour être la proportion la plus esthétique, c’est le nombre d’or.
Ce nombre = 1,618. . . ., est noté par la lettre grecque phi.
Il est égal à :

 

Pas de panique, il est facile de construire un « rectangle d’or ». C’est un carré auquel on ajoute la diagonale a partir du milieu du carré.

rectangle d'or matérialisant le nombre phi 1/2(1 + racine de 5)

Si l’on retire ou on ajoute un carré au rectangle on obtient encore un rectangle d’or plus petit ou plus grand.

On retrouve cette proportion partout, dans les oeuvres artistiques de la renaissance, en littérature, dans la musique, et dans la nature, en particulier dans le dessin en spirale que forment les graines de tournesol.

Tournesol et la spirale faite par les graines
la spirale d'or construire en passa nt par les angles des carrés croissants
La spirale d'or

 

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