Le problème de Monty Hall

par Jean Marie Champeau 31 Mars 2021, 13:09 illusion curiosité

Trois boites bleues portant un point d'interrogation. Les boites de Bertrand.

Monty Hall est le nom d’un présentateur télé américain qui a présenté pendant près de treize ans le redoutable jeu "Let’s make a deal" mettant en scène un casse-tête probabiliste tout à fait contre-intuitif, c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de Paradoxe de Monty Hall. 
 

La première forme connue de ce « faux paradoxe » a plus d’un siècle. La paternité de ce dilemme revient à Joseph Bertrand (cocorico !) en 1889, sous le nom de « Paradoxe de la boîte de Bertrand » dans son ouvrage "Calcul des probabilités".

Enoncé

Trois boites, une rouge, une bleue, une verte. Chaque boit a 1/3 de chance d'être gagnante.

100 $ sont cachés sous l’une de trois boîtes, identifiées : A, B et C.

    • On vous demande de choisir sous laquelle des trois boîtes se trouve l’argent.

    • Ignorant sous laquelle des boîtes se trouve l’argent, vous choisissez au hasard la boîte A.

    • Pour vous aider, on dévoile qu’il n’y a pas d’argent sous la boîte B.


QUESTION : Conservez-vous votre choix : A ?

1. Oui, je garde mon premier choix
2. Non, je change mon premier choix
3. Aucune importance (soit toujours garder, soit toujours changer)
4. Au hasard (l’un ou l’autre à « pile ou face » à chaque coup)
 

solution 

La bonne réponse est la 2 : je change mon premier choix.

La meilleure stratégie est de TOUJOURS changer son premier choix car la probabilité a augmenté puisqu’il y a un choix possible en moins. 

Malheureusement ça reste une probabilité ce n’est pas une certitude du gain.

Explication 

Arbre des probabilités à chaque choix.

En conservant votre premier choix, vous ne changez pas de probabilité de succès, qui demeure un tiers. 

En changeant toujours de choix, vos chances de succès sont deux fois plus grandes. Car, en dévoilant l’une des boîtes qui n’a pas d’argent sous elle, le maître de cérémonie vous offre effectivement l’ensemble des deux choix qui restent, dont la probabilité égale deux tiers. 

La figure ci-contre illustre ce concept.

L’illusion est de penser que s’il reste deux choix et qu’on ignore lequel, notre premier choix est aussi bon que le deuxième offert soit 50 %, alors qu’il n’est que de 33 %.

 

Tentez vous-mêmes l’expérience : un joueur cache l’argent sous l’une des trois boîtes à l’insu d’un deuxième joueur; le deuxième joueur tente de deviner où le premier joueur a caché l’argent en utilisant systématiquement, pendant disons 30 coups, l’une ou l’autre des stratégies proposées.

Vous obtiendrez environ 20 succès sur 30, en suivant la stratégie de toujours changer de choix ; deux fois mieux que si vous gardiez toujours votre premier choix.
 

Une autre façon de saisir l’importance de changer son premier choix est de considérer un problème similaire : Au lieu de trois boîtes, supposons que le choix original vous propose 10 boîtes, dont une seule contient l’argent convoité. 

- Vous choisissez au hasard la boîte N°7.
- Pour vous aider, le maître de cérémonie dévoile 8 boîtes qui ne contiennent pas d’argent, seule la boîte N°5 demeure, ainsi que votre choix original : la boîte N°7.

Garderiez-vous votre choix original qui n’avait qu’une chance sur 10 de contenir l’argent ? 
Croyez-vous vraiment que votre premier choix aurait subitement acquis une probabilité de 50 % ?

Il apparaît évident que vous changeriez de choix en jugeant à juste raison qu’il y a beaucoup plus de chances (8 chances sur 10) que l’argent se trouve sous la seule boîte restante autre que votre choix original qui avait et a toujours 1 seule chance sure 10 d’être gagnante.
 

Approche différente

Pour des étudiants d’un certain niveau en mathématiques, on pourra résoudre le « paradoxe » avec le théorème du révérend Bayes

On pourrait suggérer à tout élève de collège de rendre fous ses professeurs en leur faisant une simple démonstration sur 30 essais.

Pour les fans de l’utilisation des sciences dans les fictions, on peut citer Las Vegas 21, de Robert Luketic (2008) où l’enseignant (Kevin Spacey) pose la question à ses étudiants.
      

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