Les Illusions dans les chiffres

par Jean Marie Champeau 27 Mars 2021, 19:27 illusion curiosité

Concevoir et parler est plutôt la spécialité de l'hémisphère gauche du cerveau même si toutes les fonctions cérébrales impliquent des régions des deux hémisphères.

Des recherches ont permis de mesurer l'activation cérébrale à gauche ou à droite pour une fonction donnée et de représenter les quatre axes fonctionnels.

schéma des 4 axes du cerveau, avec Décision, Communication, Emotion, Perception.

Nous avons tous vu, ça et là, ces petits problèmes qui nous demandent de trouver la réponse au bout d’une suite de termes d’une certaine logique à retrouver, pour calculer le terme final. 

Avec les chiffres aussi il est possible de tomber dans l’erreur d’appréciation car on trouve beaucoup de petits casse-tête dont la règle à découvrir est quelquefois ambiguë. 

Math quiz

Voilà un petit jeu assez simple mais qui est quand même perturbant car on a à faire à une répétition de résultats à 2 chiffres et on voudrait bien que le résultat final fasse aussi 2 chiffres.

Là c’est notre esprit de rangement qui nous influence. Ce serait si bien si tout était aligné.

Math Quiz, suite d'égalités commençant par 9=72 et terminant par la question 3=

 

Allons y !

Réponse 1

Calculons la réponse mathématique d’abord, on verra ensuite une autre réponse car, pour ma part, je pense qu’il y a plusieurs réponses.
On a bien vu dans la liste, la suite des multiplications (9x8=72. . .), on a donc R = a x (a-1), avec 5 x 4 = 20, bien que le 4 ne figure pas dans la liste.
La réponse est donc 3 x 2 = 6  même si ce résultat ne fait pas deux chiffres il continue la suite mathématique.

 

Réponse 2

On remarque que deux lignes sont en rouge, La première 9 = 72, et la dernière qui est la question 3 = ??. Ce qui pourrait indiquer que la règle des chiffres rouge est différente de la règle des chiffres bleus à base de multiplication. La présence de deux points d’interrogation suggérant, en outre, un résultat à 2 chiffres. Le résultat des chiffres rouges serait la somme de deux composants, le second chiffre étant le 2 qu’on soustrait d’abord..
On aurait ainsi 9 = 72 (9-2=7 et 9-7=2) => 72
La réponse serait 3 = 12 (3-2 = 1 et 3-1=2) => 12

Alors qui à raison ?

Einstein

Là on nous dit carrément que si on calcule bien on est aussi balaise que le grand trouveur.

Mais voilà ! C’est un petit problème ambigu qui a plusieurs réponses.

Une suite d'égalités titrées 80% échouent ce simple test commençant par 1=11 et fini par 11=??.
l’erreur

Évacuons l’erreur.
On remarque que le résultat est la répétition du même chiffre : 1 = 1 et 1, 2 = 2 et 2 etc. . .
On aurait donc 11 = 111 ou 11 = 1111 ce qui est faux car ce sont des juxtapositions et non des opérations de calcul que réclament les signes =.

Réponse 1

La suite qui nous est proposée est une multiplication de raison 11. C’est la table de multiplication : 1 x 11 = 11, 2 x 11 = 22, donc 11 x 11 = 121.

Réponse 2

La liste n’est pas forcément une suite mathématique car rien ne nous le dit, ce peut être une liste d’égalités. La réponse nous est fournie dès la première ligne ou 1 = 11 donc la réponse est 11 = 1.

Alors, à nouveau, qui à raison ?
Cette question est d’autant plus pertinente que l’on trouve sur internet des tenants de l’une ou de l’autre des solutions aussi péremptoires les uns que les autres. . . .

calcul mental

Unse suite d'addition commençant par 1000 ou on demande de calculer rapidement
aller voir la solution du quiz
La solution

 

Puissance

un coin d'un échiquier sur lequel il y a des grains de riz.

 

Pour avoir inventé le jeu d'échec, le grand vizir Sissa Ben Dahir, un brillant mathématicien, choisit sa récompense en demandant de poser un grain de riz sur la première case d'un échiquier, puis le double sur chaque nouvelle case, et ainsi de suite.

Le nombre de grains de riz serait de :
 

calcul du nombre de grains de riz sur un échiquier en puissances de 2


Une quantité astronomique sans doute plus grande que toutes les récoltes jamais produites sur Terre.

Il faudrait un hangar de 5 m x 8 m x 240 000 000 km.

À raison de 5 millions de grains par baril, il en faudrait 4 mille milliards pour satisfaire la demande.
Si la production mondiale est de 2 milliards de barils par an, il faudrait 2 000 ans pour en venir à bout. 
Une autre manière de se rendre compte que ce nombre est immensément grand: il représente une longueur de 2 années-lumière exprimée en millimètres (1 al = 1016 m = 1019 mm).

Un complément à cette légende dit que le roi fut d'accord à condition que le vizir compte les grains lui même.

Nombres premiers

Table des nombres premiers dans les nombres de 1 à 100.
Les nombres premiers sont marqués en rouge.

La distribution des nombres premiers reste une des grandes énigmes des mathématiques. Il n’est pas possible de calculer un nombre premier.

Une illusion de plus !

Un nombre premier n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Le nombre 1 est mis à part. Il n'est pas premier.

Tous les nombres premiers (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …) sont voisins d'un multiple de 6 (6, 12, 18, 24 …). On dit qu’ils sont égaux à :  6n + 1
 

Exemple :  Autour de 12 on trouve 11 et 13.
Cependant (hélas), ces voisins ne sont pas tous premiers, comme 25, voisin de 24.

Ainsi, il n’est pas possible de calculer un nombre premier. 
On peut seulement calculer un nombre = 6n + 1 ou = 6n - 1 puis de vérifier qu’il n’est divisible par aucun autre nombre.
 

PI

Un carré de la même surface que le cercle.

En termes d’illusions, s’il y a un nombre qui a désorienté des générations de mathématiciens c’est bien le nombre "PI". C’est le champion.
Ce nombre, noté  π , étrange objet avec lequel chacun a croisé le fer en cours de math, est le rapport constant de la circonférence d’un cercle à son diamètre. Dit comme cela, ça a l’air simple mais le bougre a plus d’un tour dans son sac.

Le nombre π est irrationnel, ce qui signifie qu’on ne peut pas l’écrire sous forme de fraction.

Le nombre π est transcendant, c'est-à-dire qu’il est impossible de construire, uniquement à la règle et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un disque donné. 

La quadrature du cercle est impossible. Par conséquent il est impossible de construire exactement l’image ci contre à la règle et au compas.


La quadrature du cercle  fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité.
Ce problème impossible à résoudre a donné naissance à l'expression « chercher la quadrature du cercle », qui signifie tenter de résoudre un problème insoluble.
Ce problème mathématique est celui qui a résisté le plus longtemps aux mathématiciens. Ils ont mis plus de trois millénaires à étudier son cas, reconnu comme insoluble par Ferdinand von Lindemann en 1882.
 

3,14

Sa valeur approchée est  3,141592653589793 à 15 décimales près.

Si l’on veut en retenir quelques-unes, le poème de Maurice Decerf  est un moyen mnémotechnique populaire donnant plus de 150 décimales de π.

“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.              (3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5)
Glorieux Archimède, artiste ingénieux !                                           (8 9 7 9 )
Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire,                                    (3 . . . .
Soit ton nom conservé par de savants grimoires.
Jadis, mystérieux, un problème existait.
Tout l’admirable procédé, l ‘œuvre étonnante !
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs :
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe !
Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs !
Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; Appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra !
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l’orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
Professeur, enseignez son problème avec zèle…”

Représentation fractionnaire

Bien qu’on ne puisse pas représenter de π par une fraction, certaines d’entre elles permettent d’en donner une bonne approximation :
 

fractions estimant PI selon le nombre de décimales.

 

Record de décimales
de nombreuses décimales de PI avec le symbole

Comme on le sait maintenant, le nombre de décimales de π est infini, et parmi les spécialistes, certains on tenté d’établir des records du plus grand nombre de décimales.

La plupart des formules utilisées pour calculer π se basent sur la trigonométrie , comme la « formule de Leibniz ».

Alors que les séries permettent d’obtenir des valeurs approchées de π avec un taux de précision supplémentaire à chaque terme qui est constant, il existe maintenant des algorithmes itératifs qui multiplient le nombre de décimales correctes à chaque étape.


Une grande avancée a eu lieu en 1975 lorsque Richard Brent et Eugene Salamin  ont découvert indépendamment une formule, qui double le nombre de décimales correctes à chaque étape. Ils s’appuient sur un vieux résultat pressenti puis démontré en 1818 par Gauss

Salamin et Brent ont utilisé ce résultat pour construire l’algorithme qui porte leur nom, et grâce auquel la conquête des décimales de π va alors avancer conjointement avec celle des décimales de √2.

En 1997, une formule, découverte par Simon Plouffe, a fait de nouveau progresser la connaissance de π. La formule est remarquable car elle permet de calculer n’importe quel chiffre de l’écriture de π en base hexadécimale ou binaire, sans calculer les précédents. 

Sans doute en raison de la simplicité de sa définition, le nombre π , et particulièrement son écriture décimale, sont ancrés dans la culture populaire à un degré plus élevé que tout autre objet mathématique. 
D’ailleurs, la découverte d’un plus grand nombre de décimales de π fait souvent l’objet d’articles dans la presse généraliste.

Y a un truc

Ici, on veut tromper notre cerveau. Sous couvert de calcul on nous présente une liste à la Prévert.

Là, on nous annonce la couleur. Si on ne trouve pas c’est qu’on est nul ! Rassurez vous, car tout est fait pour nous induire en erreur.

Avant de découvrir la solution analysons la chose :

La présence de chiffres et des signes + et = suggèrent un calcul. 
La présence de mots en résultat suggère la présence d’un code, pas forcément mathématique.
La présence d’un mot représentant un chiffre (8) pourrait donner une partie de la solution.
La présence d’un mot de géométrie (triangle) pourrait renvoyer vers le chiffre 3.
Avec tout ça, on se torture l’esprit pour trouver une signification numérique à "poisson".
(d’autant que "poisson" pourrait évoquer une loi mathématique du même nom)
On ne nous fait pas prendre des vessies pour des lanternes, on tente de nous faire prendre des poissons pour des chiffres.

A vous de jouer :

petit casse tête avec 2+2=poisson, 3+3=huit et 7+7=triangle
la solution de 2 + 2 = Poisson
La solution

 

Une image vaut mieux qu’un long développement

Après les images trompeuses, on pensait s’en sortir avec les chiffres. On vient de voir que, même si les choses sont un peu plus contrôlables, c’est pas gagné non plus avec les chiffres.

vendredi 13 le personnage enlève la feuille du jeudi 12 et le calendrier tombe

 

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