∞=0, avec les limites

par Jean Marie Champeau 13 Avril 2021, 11:06 illusion pseudo

infini = 0 avec les limites.

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir manipuler les limites.

"démonstration"                                                         

Posons l’égalité :

1 = 1 

Qu’on peut écrire sous la forme :


1 = (-1)+2 


Et ainsi de suite :

 

1 = (-2)+3
1 = (-3)+4
1 = (-4)+5
1 = (-5)+6
. . .

On fait le total membre à membre :                                                                                             
_______________
1+1+1+1+1. . . . . . . .=1+(-1) + 2+(-2) + 3+(-3)+. . .

On simplifie :

1+1+1+1+1. . . . . . . .=1+(-1) + 2+(-2) + 3+(-3)+. . .

On a :

=0


Où est l’erreur ?

explication

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur courante consistant à simplifier une "somme télescopique", c’est à dire une somme dont les termes s’annulent de proche en proche.

La convergence de ce type de série : 

Somme de "an+1 – an" équivaut à la convergence de la suite "an", donc :

∞=∞

La pseudo-démonstration, s'effectue en deux étapes :

  • Écrire une égalité vraie.
  • Appliquer l’implication fausse en écrivant l’égalité en enfreignant une règle.


Ici la ruse a consisté à "simplifier" une somme télescopique ce qui n’a pas de sens mais on pourrait s’y laisser prendre.     
 

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