1=-1, avec les racines carrées

par Jean Marie Champeau 16 Avril 2021, 08:54 illusion pseudo

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir, un peu, manipuler les racines carrées même s’il y a une petite pincée de nombres complexes.

"démonstration"

Considérons l’égalité :

-1 = -1

                                               
Qu’on peut écrire sous forme de quotients :

Or -1 = le nombre complexe i2 d’où :

On prend la racine carrée des deux côtés ce qui donne :

En multipliant par "i" des deux côtés on obtient :

1 = i2

Mais puisque i2 = -1 on a :

1 = -1


Où est l’erreur ?

Explication

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur courante consistant à déduire de a2 = b2 que a = b, l’implication correcte étant de déduire que les valeurs absolues sont égales : |a| = |b|.

La pseudo-démonstration, s'effectue en deux étapes :

    • Écrire une égalité vraie entre carrés
    • Appliquer l’implication fausse en écrivant l’égalité sans les carrés.


Ce n’est pas parce que des valeurs sont égales que leur racines carrées sont égales il faut que les racines soient définies dans l’ensemble concerné, à savoir en |valeur absolue| donc sans signe.

Par exemple : 32 = 9 mais aussi -32 = 9  pour une même valeur, leur racines ne sont les même qu’en valeur absolue |3|.

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