3=4, avec les puissances

par Jean Marie Champeau 9 Avril 2021, 09:10 illusion pseudo

3=4 avec les puissances en OCR A, pseudo-démonstration.

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir, un peu, manipuler les puissances et une identité remarquable.

"démonstration"

(Les points représentent des multiplications)

Soit l’égalité:            

9 - 21 = 16 – 28 

Que l’on peut écrire ainsi :

32 – 3.7 = 42 – 4.7

On multiplie par 2 puis on divise par 2 les produits : 

32 – 2.3.7/2 = 42 – 2.4.7/2

Pour faire apparaître une identité remarquable (a2 – 2ab + b2), pour avoir le b2, il faut ajouter 49/4=(7/2)2 :

32 – 2.3.7/2 + 49/4 = 42 – 2.4.7/2 + 49/4

32 – 2.3.7/2 + (7/2)2 = 42 – 2.4.7/2 + (7/2)2
(a2 – 2ab        + b2)       (a2 – 2ab      + b2) 

                                                                                
On a donc (a2– 2ab+ b2) = (a – b)2 : 

(3 – 7/2)2    =  (4 - 7/2)2

On simplifie en enlevant le carré : 

3 – 7/2        =   4 – 7/2

  3   =   4 


Mais ! Ou est l’erreur ?       

explication

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur consistant à supprimer une opération en enfreignant la règle des puissances (ou des racines).


Les pseudo-démonstrations, s'effectuent généralement en deux étapes :

  • former une égalité de facteurs qu’on « peut simplifier »
  • via la « simplification » interdite en une division par zéro ou en enfreignant les règles pour obtenir un résultat absurde.

    
Ici, on « simplifie » en enlevant les carrés des expressions de part et d’autre, or « enlever » un carré équivaut à diviser le carré par la même valeur, c’est à dire faire la racine carrée.
Quand on enlève la carré de (3 – 7/2)2 , on divise par (3 – 7/2), 
et quand on enlève le carré de (4 – 7/2)2 on divise par (4 – 7/2).

En faisant cette opération on a divisé les membres de l’équation par des valeurs différentes et là, on explose notre jolie démonstration !

C’est tout ?

Non ce n’est pas tout ! 

Même si on fait une erreur aux racines carrées, on voit déjà que là, l’équation à l’air bancale. L’erreur vient de bien plus haut. . . . De bien plus haut. . .

Quelle est la valeur des soustractions de l’équation ?  Réponse -12 (9-21), dès la première ligne.

Il est donc impossible d’obtenir une valeur négative avec un carré par conséquent la manœuvre alambiquée cherchant à obtenir une identité remarquable sous la forme d’un carré est pourrie d’avance.

Donc à la fin on a (3 – 7/2)2  =  (4 – 7/2)2, ce qui est VRAI, mais 3-7/2 = -0,5 alors que 4-7/2 = +0,5, bien que les carrés soient égaux (0,25) leurs racines ne le sont pas.

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