i, au carré=1, avec les nombres complexes

par Jean Marie Champeau 17 Avril 2021, 12:27 illusion pseudo

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir manipuler les nombres complexes et les exponentielles.
     

"démonstration"


Un nombre complexe est défini par :                          i2 = -1      
                                                                         

La forme exponentielle d’un nombre complexe est :

e2πi

On sait le décomposer, c’est égal à : 

e2πi  = cos2 π  + i sin 2 π 
                                         partie imaginaire

Comme sin 2 π = 0

=> le nombre n’a pas de partie imaginaire

donc :

e2πi  = cos2 π 
                  

On sait que cos2 π  = 1

e2πi  = 1

 
  
Elevons chacun de ces deux nombres à la puissance P :

 

(e2πi)p  = (1 )p

(e2πi)p  = 1

 

Dans les puissances (na)b = nab

e2πip  = 1

si on prend p=1/4:

e2πip  = 1
eπi/2  = 1
cos π/2  + i sin  π /2 = 1
partie réelle      partie imaginaire

On sait que cos π/2 = 0

i sin  π /2 = 1

On sait que sin π/2 = 1

donc :

i = 1
=>
i2 = +1

Où est l’erreur ?
 

Explication

Le développement était correct jusqu’à. . . . "p" qui doit être un entier.


Les pseudo-démonstrations, s'effectuent généralement en deux étapes :

    • former une égalité de facteurs qu’on « peut simplifier ». 

    • via une « simplification » interdite en une division par zéro ou en enfreignant les règles pour obtenir un résultat absurde.


En effet comme nous l’indiquent les deux formules magiques des nombres complexes, (Euler et Moivre) elles sont vraies pour un coefficient entier.
 

Euler

La formule d’Euler établit un puissant lien entre l'analyse et la trigonométrie.  Elle est utilisée pour représenter les nombres complexes sous forme trigonométrique et permet la définition du logarithme pour les arguments complexes. En utilisant les propriétés de l'exponentielle

ea+b = ea eb
et
(ea)k = eak

(qui sont aussi valables pour tous les nombres complexes a, b et pour tout entier k),

Moivre

La formule de Moivre affirme, pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif n :

(cos x + i sin x)n = cos(nx) + isin(nx)


                                  
Le nombre "i" désigne l'unité imaginaire, c'est-à-dire le choix d'une racine carrée de – 1.
 

La ruse est déjouée

Le coefficient, qui devrait être un entier, "p"= 1/4 provoque un résultat imprévisible.

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