La conjecture de Syracuse

par Jean Marie Champeau 5 Avril 2021, 13:48 illusion curiosité

Un problème mathématique qu’un enfant peut comprendre et qu’aucun mathématicien n’arrive à résoudre.

Dans l'image de gauche un nombre IMPAIR multiplié par 3 + 1, dans l'image de droite un nombre PAIR divisé par 2pe Deux tableau

La conjecture de Syracuse, encore appelée conjecture de Collatz, conjecture d'Ulam, ou conjecture tchèque, est l'hypothèse mathématique selon laquelle la suite de Syracuse de n'importe quel entier de départ, atteint 1.


En dépit de la simplicité de son énoncé,  cette conjecture défie depuis de nombreuses années les mathématiciens. C’est une de ces murailles sur laquelle la communauté mathématique a butté et que pour l’instant aucun alpiniste n’a su gravir. 

Cette conjecture mobilisa tant les mathématiciens durant les années 1960, en pleine guerre froide, qu'une plaisanterie courut selon laquelle ce problème faisait partie d'un complot soviétique visant à ralentir la recherche américaine.
         

Définition

En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d'entiers définie ainsi :
 
On part d'un nombre entier positif.                                                                                                                                                        
- s’il est pair, on le divise par 2.

- s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. 

En répétant l’opération, on obtient une suite d'entiers strictement positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur.

La séquence commence par 5, devient 16 puis 8, 4, 2 et 1, indéfiniment

Par exemple, à partir de 14, on construit la suite des nombres : 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2…

C'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre 14.

Après que le nombre 1 a été atteint, la suite des valeurs (1,4,2,1,4,2…) se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3, appelé cycle trivial.

Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de nombres différente, par exemple 15. 

Suite de Syracuse du nombre 15.

 

Graphe de la suite de Syracuse 27.

 

L'observation graphique de la suite pour N = 27 montre que la suite peut s'élever assez haut avant de retomber. 

La représentation graphique des nombres de la suite font penser à la chute chaotique d'une feuille emportée par le vent. De cette observation est né tout un vocabulaire aéronautique imagé pour décrire les effets de "la suite de Syracuse". On parlera du "vol" de la suite.


    • le temps de vol : Est le premier rang "n" où la suite retombe à 1.
Il est de 17 pour la suite de Syracuse 15. 

    • le temps de vol en altitude : Est le premier rang "n" où un nombre devient inférieur au nombre de départ.
Il est de 10 pour la suite de Syracuse 15.

    • l'altitude maximale : Est la valeur maximale de la suite. 
Elle est de 160 pour la suite de Syracuse 15.

Il n’a pas encore été prouvé l’impossibilité que la suite de Syracuse avec certaines valeurs de départ n'atteigne jamais la valeur 1, pour l’instant, toutes les suites expérimentées ont abouti à 1.

 La conjecture stipule :

"La suite de Syracuse d’un nombre positif quelconque se termine toujours par 1"
                             

invention


Dès 1928, Lothar Collatz s'intéressait aux itérations dans les nombres entiers, qu'il représentait au moyen de graphes. Il inventa alors le problème 3x+1, et le présentait souvent ensuite dans ses séminaires. 

En 1952, lors d'une visite à Hambourg, Collatz expliqua son problème à Helmut Hasse. Ce dernier le diffusa en Amérique à l'université de Syracuse. La suite de Collatz prit alors le nom de « suite de Syracuse ». 

Le mathématicien polonais Stanislas Ulam le répand dans le Laboratoire national de Los Alamos. 

Dans les années 1960, le problème est repris par le mathématicien Shizuo Kakutani qui le diffuse dans les universités Yale et Chicago.

Records de calcul

Représentation des itérations de la suite de Syracuse.

Le record de vérification de la conjecture était à 3,5x1017 en 2009. Ce qui veut dire que tous les vols dont le numéro est inférieur atterrissent en 1. Ce résultat est du à Tomás Oliveira e Silva de l’université de Aveiro au Portugal qui a développé des trésors d’ingéniosité pour arriver à ce résultat. 

Le plus grand vol de durée record publié par Eric Roosendaal en 2009 est le vol 46 785 696 846 401 151 dont la durée est 2090 étapes. 

Une altitude record trouvée par Tomàs Oliveira e Silva en 2008 est le vol de 1 980 976 057 694 848 447 qui réussit à atteindre l’altitude vertigineuse de 64 024 667 322 193 133 530 165 877 294 264 738 020. 
 

Des débuts de preuve

Tout d’abord, notons que cette conjecture a été prouvée pour tous les nombres jusqu’à 100000000000000000000, ou, 1020 en 2019. 
Autant dire que si on souhaite trouver un contre-exemple, il va falloir voir du côté des grands nombres. 

Si la suite de Syracuse passe en dessous de ce seuil, vous pouvez être certain qu’elle finira par atterrir en 1.
                                                                                                                             
On peut seulement remarquer que, lorsque le nombre que l’on considère est impair, si on le multiplie par 3 et que l’on ajoute 1, on obtient alors un nombre pair, qui sera alors divisé par 2. 

Si on rassemble ces deux opérations en une seule, ça revient à multiplier par 3/2, c’est-à-dire 1,5, le "+1" étant négligeable pour des très grands nombres.
                               

                                                          
Première constatation 

Pour les grands nombres :

- Un nombre impair et le nombre pair qui le suit "montent" de 1,5 (multiplication par 1,5)                                                                                              
- Un nombre pair seul  "descend" de 2 (division par 2)
 le gain d’un nombre impair + pair est inférieur à la perte d’un nombre pair seul.

 

Seconde constatation 

Pour les grands nombres :     
On peut dire que la quantité de nombre impair est au maximum la moitié de la suite, puisque un nombre impair crée toujours un nombre pair, alors qu’un nombre pair peut créer un nombre pair. Les nombres impairs sont donc moins de 50 %.   
La quantité de nombres impairs est toujours inférieure à la quantité de nombres pairs.
                                                               

Pour nous, simples quidams, de savoir que pour un grand nombre de suites il est déjà prouvé que la suite tend vers 1, ça nous suffit.

Et puis on pourra toujours gagner des paris en prédisant que le résultat sera toujours 1 puisqu'on sait que c'est vrai au moins sous ce très grand nombre. 

                                                                                           

représentation en images

Les vols
Trajectoire de 31. Altitude maximale 9232 .
Trajectoire de 1000 000. Chute au début.

 

Arbre de Syracuse

Partant du nombre 1, les mathématiciens, pour vaincre la conjecture, ont essayé de raisonner à l’envers. 
Pour atteindre 1, il faut forcément avoir été au nombre 2 à l’étape d’avant. Pour atteindre 2, il faut forcément avoir été à 4, et donc avoir été à 8 avant, et à 16 l’étape encore avant.

En revanche, pour atteindre l’altitude 16, on peut provenir de l’altitude 32, dans ce cas, on a divisé par 2, ou de l’altitude 5, et ici, on devra multiplier par 3 et ajouter 1 pour obtenir 16.

5 et 32 sont donc à la même altitude, et on peut encore remonter pour voir comment ces nombres ont pu être obtenus, et ainsi de suite. 

On peut construire alors un graphique, que l’on nomme "arbre de Syracuse".
Si l’on représente les nombres entiers par des points, deux points sont reliés entre eux s’il est possible de passer de l’un à l’autre en une étape de la suite de Syracuse.
 

Arbre de la suite de Syracuse à l'envers a partir de 1 en remontant.
Arbre sur 11 étages

En représentant l’arbre de cette manière, on peut voir que tous les points qui se situent au même niveau, à la même distance du 1 auront une durée de vol égale. 

Il est évident que cet arbre possède une infinité de points. Les graphes montrent que si un entier apparaît dans cet arbre, alors il ne peut apparaître qu’une seule fois. 

La suite de Syracuse a été étendue aux nombres réels et aux nombres complexes par des matheux qui ont traduit les valeurs de la suite en images fractales.

On n’en dit pas plus. Et si on en parle c’est pour la beauté de la représentation.
 

graphe des suites, 21 étages, jusqu'à 1000 et fractales
graphe des suites, 21 étages, jusqu'à 1000 et fractales
graphe des suites, 21 étages, jusqu'à 1000 et fractales

graphe des suites, 21 étages, jusqu'à 1000 et fractales

Mon grain de sel

Dans cette course effrénée des amateurs et des professionnels des mathématiques pour prouver la conjecture, je vais les laisser s’écharper et apporter mon grain de sel.
 

Limite de nombres impairs
                                 

Tout d’abord, comme conséquence de ce que nous avons vu, un nombre impair crée toujours un nombre pair (3x + 1) donc les nombres pairs sont au moins la moitié de la quantité totale des nombres. Là, on va faire un peu de calcul. Juste un peu !

Si "qp" est la quantité de nombres pairs, "qi" la quantité de nombre impairs, et "Q" la quantité totale de nombres de la suite, on a :        

Q = qp + qi
qp ≥ Q/2
qp > qi    

- Posons qp1 comme la quantité de nombres pairs issus des nombres impairs :

qp1 = qi

- Posons qp2 comme la quantité de nombres pairs issus de la division par 2 d’un autre nombre pair en se limitant à une seule occurrence de nombre pair donnant un autres nombre pair alors qu’il peut y avoir une cascade.
S’il n’y a aucun nombre pair générant un autre nombre pair on a :

qp = qp1 -1 (moins le 1 final)
                                                                             
Q = qp + qi = qp1 + qi = qi + qi - 1
Q = 2qi -1

par conséquent :          
qi = Q/2 – 1  (limite maximum de nombres impairs)
 

Un nombre pair a statistiquement 1 chance sur 2 de créer un autre nombre pair par sa moitié.

qp = qp1 + qp2
qp2 = qi/2


qp = qi + qi/2

On a donc :  

Q = qp + qi = qp1 + qp2 + qi = qi + qi/2 + qi
Q = 5qi/2

par conséquent :          

qi = 2Q/5

 Ainsi je déclare ma première règle, que j’appelle le "premier théorème de moi, personnellement" : 

« Dans la suite de Syracuse, la quantité de nombres impairs est toujours inférieure à la quantité de nombres pairs avec une probabilité d’apparition de 2/5 de la suite avec un maximum strictement inférieur à 1/2»

 

tangente & sécante

Comme on l’a vu dans les graphes, la fin de la suite se termine par 16, 8, 4, 2, 1, qui sont des puissances de 2. La valeur 16 étant, soit issue d’une suite de puissances de 2, soit de la valeur 5 qui démarre la séquence finale des puissances de 2, par l’opération 3X+1.

Par conséquent, pour que la suite se termine toujours par des puissances de 2, il faut que le calcul fait sur les nombres impairs aboutisse au double (16 issu de 5) de la puissance de 2 initiant la chute finale(8).
       
Ce qui veut dire que si la suite peut se terminer par autre chose qu’une puissance de 2 il ne devrait pas y avoir de rapport entre la fonction 3x + 1 faite sur les nombres impairs et le double de la puissance de 2 initiant la chute. 

c’est à dire :

entre : 3x + 1 et une fonction de la forme 2n

On ne va pas refaire le monde, on va juste tracer ces courbes là et on laissera les mecs balaises faire les calculs.

 

Courbe 2 puissance (n+1) et droite 3X+1 sur graphe +5-5.
Courbe 2 puissance (n+1) et droite 3x + 1.

 

3X+1 et 2 puissance (x-1); 5 donne 16
3X+1 et 2 puissance (x-15); 21 donne 64

 

Et que voit-on ? La droite « 3x+1 » est la tangente de la courbe « 2(n+1) », Elle coupe les courbes « 2(n-1) » en 16 pour une abscisse de 5 et « 2(n-15) » en 64 pour une abscisse de 21.

Il existe donc des puissances de 2 sur la droite pour des abscisses entières.

Ainsi je déclare ma seconde règle que j’appelle le "second théorème de moi, personnellement" : 

« Dans la suite de Syracuse, tôt ou tard, la fonction "3x+1" coïncide avec des fonctions de la forme " 2n " et donc inclut des puissances de 2 se terminant par une suite de puissances de 2 jusqu’à 1»


Hugh !                                   

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