Les illusions, La loi de Benford

par Jean Marie Champeau 21 Avril 2021, 21:30 curiosité logique

Répartition des premiers chiffres ( %) dans la population des pays du monde
Par Melikamp — Travail personnel, CC BY-SA 4.0

 

 

 

La loi de Benford, initialement appelée loi des nombres anormaux par Benford, fait référence à une fréquence de distribution statistique observée empiriquement sur de nombreuses sources de données dans la vraie vie, ainsi qu'en mathématiques.

 

 

 

 

Répartition des premiers chiffres ( %) dans la population des pays du monde (juillet 2010). Les points noirs indiquent la répartition prévue par la loi de Benford.


 

Exemple

 

Prenons l’exemple d’une rue. Si la rue ne compte que 9 maisons, tous les premiers chiffres sont évidemment équiprobables. Mais si la rue a 19 maisons, le 1er chiffre est "1" dans 11 cas sur 19. 


Plus généralement :


    • les premiers chiffres ne sont également répartis que lorsque la rue compte 9, 99, 999... 10n−1 maisons : autant dire "presque jamais''


    • la distribution des premiers chiffres se modifie en fonction du nombre des maisons de manière bizarre et irrégulière, mais pas impossible à calculer. La moyenne des fluctuations ainsi obtenues conduit à la loi de Benford. 

 

Cette distribution a été observée une première fois en 1881 par l'astronome américain Simon Newcomb, dans un article de l'American Journal of Mathematics, après qu'il se fut aperçu de l'usure préférentielle des premières pages des tables de logarithmes alors compilées dans des ouvrages.

 

L’article passe complètement inaperçu.  

 

Frank Benford, aux alentours de 1938, remarque à son tour cette usure inégale, formule la loi qui porte son nom. 

La loi

 

Frank Benford étudia le phénomène de façon empirique sur 20 groupes de nombres mesurant des quantités des plus variées (superficie des lacs, poids moléculaires de certains composés...). Il parvint à la conclusion étonnante que les valeurs avaient effectivement plus de chance de commencer par un petit chiffre. Il énonça la loi des nombres anormaux, connue malgré tout sous le nom de loi de Benford :

 

pn = p(1er chiffre = n) = log10(n+1) − log10(n).

 

"p" désignant la probabilité.

 

Les valeurs obtenues sont les suivantes :

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

p

0,301

0,176

0,125

0,097

0,079

0,067

0,058

0,051

0,045
 
"1" est plus de 6 fois plus probable que "9" !..
Loi de Benford. La fréquence des premiers chiffres de 1 à 9 en %. de 30% à 5%

 

Dans une série de données numériques, on pourrait s'attendre à voir les chiffres de "1" à "9" apparaître à peu près aussi fréquemment comme premier chiffre significatif, soit avec une fréquence de 1/9 = 11,1 % pour chacun. 

 

Or, contrairement à cette intuition, la série suit très souvent approximativement la loi de Benford.


Pour près du tiers des données, le 1er chiffre significatif le plus fréquent est le "1". Viennent ensuite le chiffre "2", puis le "3", etc. . . 

Conséquences

 

Depuis sa découverte, la loi de Benford a été testée avec succès sur des milliers de jeux de données.


Dans la vie réelle, on constate souvent la décroissance des probabilités en fonction du premier chiffre, en adéquation proche avec les valeurs de la loi de Benford : données géographiques, données physiques, résultats sportifs, dans les sciences humaines et sociales, dans des tables de valeurs numériques comme celles qu'on rencontre en physique, en volcanologie, en génétique, en BTP, en économie, ou même dans un carnet d'adresses etc. . .

 

La loi s'applique à des mesures, c’est à dire des nombres suivis d'une unité de mesure car elle n’est valable que sur une échelle de valeurs continues commençant par 1. 

 

En revanche, elle ne s'applique pas aux données purement aléatoires comme le tirage du loto.

 

Pas de bol pour les joueurs du dimanche !.

 

Elle n’est pas non plus vérifiée si la série de données comporte des contraintes quant à l'échelle des valeurs vraisemblables. 


Par exemple, la taille des individus, lorsqu'elle est exprimée dans le système métrique, puisque la quasi-totalité des mesures commence par le chiffre « 1 ».

Explication

 

La loi de Benford a suscité depuis sa découverte un grand nombre de publications chez les scientifiques. Le site Benford Online Bibliography en recense une quantité impressionnante.
             
Pourquoi plus de 1 que de 9 ?


Regardons la proportion R(M) des entiers, entre 1 et M, commençant par 1 :

 

    • L’entier 1 commençant par 1, on obtient R(1)=1.

 

    • Puisqu’aucun nombre entre 2 et 9 ne débute par 1, la proportion va décroître jusqu’à atteindre R(9)=1/9.

 

    • Puis, les nombres de 10 à 19 commençant tous par 1, la proportion croît jusqu’à M=19, on trouve alors R(19)=11/19.

 

    • Entre 20 et 99, aucun nombre ne commence par 1, donc le ratio décroît à nouveau jusqu’à M=99 donc R(99)=11/99=1/9.     

                     
    • Il croît à nouveau jusqu’à M=199 avec R(199) = 111/199 = environ 5/9, etc.

 

Même lorsque le maximum M devient très grand, la proportion ne cesse d’osciller entre 1/9 et 5/9.

 

undefined
Proportion des entiers compris entre 1 et M commençant par 1. (Flehinger)

Sur l’axe horizontal, il s’agit d’une échelle logarithmique. On utilise la même distance pour représenter entre 1 et 10, entre 10 et 100, entre 100 et 1000.

 

La conclusion est la suivante : il y a autant de nombres débutant par 1 que par 9 entre 1 et 999 ou entre 1 et 9999 ; mais ce n’est pas vrai entre 1 et 19, entre 1 et 31.

En fait, c’est faux dès que le maximum n’est pas de la forme 10n -1.

Si l’on fait les moyennes en cascade des valeurs R données par la courbe rouge, on obtient une courbe qui tend vers 30 %, c’est à dire le pourcentage des "1" dans sur la loi de Benford.

B.J. Flehinger

La courbe violette est la moyenne des valeurs R données par la courbe rouge. La bleue est obtenue de la même façon à partir de la violette, et la jaune à partir de la bleue.

 

En 1995, dans une série de plusieurs articles sur la loi de Benford, Theodore Hill a montré un certain nombre de propriété et il faut attendre 1998, pour que Hill en fasse la démonstration complète et satisfaisante.
 

Conclusion

 

Comme beaucoup de découvertes mathématiques, la loi de Benford est longtemps restée une curiosité sans application pratique, jusque dans les années 1990 où l’économiste américain Mark Nigrini suggéra l’utilisation de tests basés sur la loi de Benford pour la détection de données falsifiées. 

 

Nigrini a montré qu’un examen attentif des nombres apparaissant dans la comptabilité d’une société peut permettre à un expert comptable de repérer d’éventuelles fraudes. 


En effet, l’expérience montre que des données authentiques doivent suivre la loi de Benford. 


Celui qui invente des nombres a tendance à surestimer l’apparition de 5 et 6 à tel point qu’ils prédominent nettement dans les données falsifiées : 40 % pour les "5" et plus de 20 % pour les "6". 

 

Ces tests ont permis de débusquer des falsifications dans les comptabilités de sept sociétés basées à New-York et ont depuis été utilisés dans des domaines variés. 
   

Dans une étude publiée en 2011, quatre économistes allemands, Bernhard Rauch, Max Göttsche, Gernot Brähler et Stefan Engel ont testé la loi de Benford sur les données comptables produites par les États membres de l'Union européenne. Ils montrent que la Grèce et la Belgique en second, sont les pays européens qui s'éloignent le plus des prédictions de la loi de Benford.


Alors ?

loibenford

Sources

https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford

http://math.pc.vh.free.fr/divers/paradoxes/benford.htm

I. Stewart : L'univers des nombres, Belin 2000, pp. 57-61.

https://www.auditsi.eu/?p=4199

http://images.math.cnrs.fr/Quel-est-le-debut-de-ce-nombre.html

 

Photos

Répartition des premiers chiffres

Par Melikamp — Travail personnel, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=92013276

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Benfords_law_illustrated_by_world%27s_countries_population.svg/1024px-Benfords_law_illustrated_by_world%27s_countries_population.svg.png

 

La loi

https://www.auditsi.eu/wp-content/uploads/2013/12/Fr%C3%A9quence-Loi-de-Benford.png

 

Proportion des entiers compris entre 1 et M commençant par 1.

http://images.math.cnrs.fr/IMG/png/flehinger0.png

 

moyennes des valeurs données par la courbe rouge.

http://images.math.cnrs.fr/IMG/png/flehinger2.png

 

Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :
commentaires

  • Depuis la création. . .

    90 pages, en moyenne, sont vues par jour.

    _______________________________________________
    naviguer sur le site - naviguer sur le site - naviguer sur
    ________________________________________________
    historique newsletter - historique newsletter - historique

     

    Abonnez vous, c'est gratuit! 

  • Articles récents

  • Liens

  • plan du site - plan du site - plan du site - plan du site -
    Arborescence du site.

    Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

    Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

    Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

    Jean Marie Champeau

    Présentation
         plan
         index

     

     

    La vision. L’œil. Les limites de l'oeil. La retine. L'envoi du signal. Le cerveau. L'acheminement du signal. Application dans la guerre. Les paniers du pharaon. Le cheval de Troie. Alexandre passe le gué. La stratégie du fort vide. Le siège de Yongqiu. Des toiles peintes comme toute protection. Ni vu ni connu. De la poudre aux yeux des anglais. C'est celui qui le dit qui y est. Le principe de Magruder. Le siège de Mafeking. Camouflage au front. Dazzle. Les navires Q. Les illusions de Munich. La fin des illusions pacifistes. Katyn. Operation Tracer. Demi echec à Aden. Pearl Harbor. Faire disparaître Alexandrie. Se faire passer pour une flotte de sous marins. Maleskyne. L'entreprise la plus étrange du monde. Déguiser la Californie. Jim le faussaire talentueux. L'évade deguisé. La machine Enigma. Operation Bertram. Un rôle étrange pour un hotel de Copenhague. Hedy Lamarr sème la panique. La radio pirate des alliés. Soldatensender Calais. Operation Mincemeat. L'homme qui n'a jamais existé. Operation Copperhead. Le sosie de Montgomery. Un chiffon rouge pour le taureau nazi. Boeing B29. Operation Fortitude. Operation Ferdinand. Des chars sculptés à Iwo Jima. Armes miracle d'Hitler. Le débarquement d'Incheon. Des missiles à Cuba. Double ruse aux iles Falkland. Malouines. L'opération Just Cause. IraQ. Irak. Les couveuses du Koweit. Les armes de destruction massive. Le mot guerre. Application dans la publicité. L’alcool. Les camions. La consommation. Films et livres. Dans la nature. Les supports. Le tabac. Dans l'automobile. Lles logos. Les logos qui ont mal tourné. Inspirées d'Escher. Provocations voulues. Trompe-l'oeil.Application dans la vie courante. Camouflage automobile. Les images subliminales. L'anamorphose. La pareidolie. La prosopagnosie. Le daltonisme. Le camouflage animalier. Dans les feuilles. Dans les branches. Le monde marin. Sur le sol. Les animaux transparents. Les objets. Dans la mode. La couleur. La matière. Le temps. L'Univers. Le Gogol. Les jeux de hasard. Les emplois verts. L'indice des prix. La gratuité. Le Puzzle de Lewis Caroll. Le ruban de mobius. Les objets impossibles de penrose. La formule de heron. Le théoreme de marion. Le theoreme de van aubel. Le theoreme de thebault. Le theoreme de pitot. Le theoreme de viviani. Le theoreme de morley. Le theoreme des 7 cercles. Le theoreme du carreleur. Les pavages de truchet. Le theoreme des 4 couleurs. Les-illusions-dans-les-textes. Les illusions dans les chiffres. Le paradoxe de berry. Les illusions le hareng rouge. Les kakemphatons. Les palindromes. Les pangrammes. le probleme de monty-hall. Le paradoxe d abilene. Le paradoxe de simpson. Le paradoxe des anniversaires. La loi de benford. Le paradoxe de penney. Le probleme de la belLe au bois dormant. Le paradoxe des trois pieces de monnaie. Le paradoxe du fromage a trous. Le paradoxe de L'abondance. Le paradoxe de newcomb. Le paradoxe de L'oeuf ou de la poule. Le dilemme du prisonnier. Le paradoxe de braess. Le paradoxe de jevons. Le paradoxe de L'amitie. Le paradoxe de saint petersbourg. Le paradoxe du menteur. Le paradoxe de curry. Le paradoxe d olbers. Le paradoxe de bentley. Le paradoxe de fermi. Le rasoir d ockham. Le paradoxe du petit monde. Le paradoxe de parrondo. la loi de littlewood. Le paradoxe de grelling nelson. Le paradoxe sorite. L'antilogie. La conjecture de syracuse. Le paradoxe de la pomme de terre. la conjecture de gilbreath. La conjecture de goldbach. Le paradoxe de condorcet. Le paradoxe de la serie de grandi. Le paradoxe de l'alabama. Le paradoxe du vote. Le paradoxe d'ostrogorski. Le paradoxe d'arrow. L'argument de L'apocalypse. Le paradoxe de la trompette de gabriel. Le nombre 26. Les nombres univers. Le paradoxe de L'escargot sur un elastique. Le paradoxe de la tailLe double. Le paradoxe des feuilles de thé. La malediction des ressources naturelles. Le paradoxe de faraday. L'effet mpemba. Le paradoxe de l'hormese. Les aiguilles de buffon. L'effet dunning kruger. du son. du silence. La loi de murphy. L'illusion de baader meinhof. La loi de futilite de parkinson. La loi de weber fechner. L'effet de superiorite de l'image. La tachypsychie. L'argument du reve. Le paradoxe de l'epargne. Le paradoxe de la tolerance. La cryptomnesie. Le galop de gish. Le paradoxe de l'eau et du diamant. L'effet repere du regard. Le prix psychologique. Le syndrome de stockholm. Le syndrome de lima.   

    Application dans l'architecture. Moderne. Parthénon. Eglises. Application dans l'art. Les objets impossibles de Esher.

Haut de page

Theme: Autofocus © 2024 - Hébergé par Overblog