Le paradoxe des trois pièces de monnaie

par Jean Marie Champeau 27 Avril 2021, 07:49 illusion curiosité

Trois pièces de monnaie en l'air.

Dans le cas d'un lancer de trois pièces de monnaie, l’évaluation de la probabilité que toutes trois retombent du même côté n’est pas intuitif.

Si on lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté. 

Description

On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du même côté, que ce soit pile ou face ?


Dans un lancer de trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté. La troisième aurait donc une chance sur deux d’y être aussi. 

         
Vraiment? La probabilité est 1/2 ? 

Non, c'est 1/4.

Explications

Le problème consiste à repérer l'erreur de raisonnement aboutissant à la mauvaise conclusion.

Le raisonnement énumératif correct (1/4)

Il y a huit possibilités équiprobables : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF , parmi celles-ci se trouvent deux cas favorables : PPP et FFF.

La probabilité vaut donc 2/8, soit 0,25.
 

Le raisonnement fallacieux (1/2)

Si on lance trois pièces, il y en a forcément deux qui seront déjà du même côté :

Il y a 4 possibilités : 2xP+P, 2xP+F, 2xF+P, 2xF+F ; et 2 cas favorables : 2xP+P, 2xF+F.

Ici, contrairement au raisonnement énumératif, les possibilités ne sont pas équiprobables.

Par exemple : 2xP+P correspond à PPP seulement ; mais 2xP+F correspond à PPF, PFP ou FPP. 
Le cas 2xP+F est donc trois fois plus probable que 2xP+P.

On se trouve là dans le cas de probabilités conditionnelles implicites.

Notons P1, P2, P3, les résultats (pile/face) respectifs des pièces 1, 2 et 3.
L'erreur vient du fait qu’on ne calcule pas p=(P1=P2=P3) mais p=(P1=P2=P3|P1=P2) qui se lit "probabilité que les trois pièces 1,2,3 soient du même côté sachant que les pièces 1 et 2 soient du même coté" (donc déjà connu avec « sachant que »). 

probabilités conditionnelles(Séquence étudiant)

Pour 2 événements A et B, la probabilité de A sachant que B est réalisée est :  

Formule de la probabilité conditionnelle.

La probabilité pour que les trois pièces "soient du même côté" sachant que les pièces no 1 et no 2 "sont du même côté" est :
Si Ap = la probabilité que dans les trois pièces, 2 tombent sur "pile" = 4 sur 8 
(dans les 8 PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF on a PPP, PPF, PFP, FPP).
Si Af = la probabilité que dans les trois pièces, 2 tombent sur "face" = 4 sur 8 
(dans les 8 PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF on a  PFF, FPF, FFP, FFF).


Si Bp = la probabilité que deux pièces tombent du côté "pile" = 1/4
(dans les 4 PP, PF, FP, FF, on a PP,)
Si Bf = la probabilité que deux pièces tombent du côté  "face" = 1/4
(dans les 4 PP, PF, FP, FF, on a FF,)

P(Ap*Bp)    = (4/8) * (1/4) = 4/32 = 1/8
P(Af*Bf)      = (4/8) * (1/4) = 4/32 = 1/8
                                                                                                                                             
P(Ap|Bp)     = (1/8) / (1/4) =     (1/8) / (2/8)  = 1/2
P(Af|Bf)       = (1/8) / (1/4) =     (1/8) / (2/8)  = 1/2

Moralité


Sous forme de rappel: Une probabilité =
 (évènements équiprobables) 

                                                   
           nombre de cas favorables

P(A) = ------------------------------- 
                             nombre de cas possibles                   

Deux astuces

- Si on parle de « au moins », il est préférable de calculer la probabilité « de ne pas avoir » et de faire 1 -P.

- Si on dit « sachant que », c’est une probabilité conditionnelle avec une réponse partiellement connue.                                                                               
 

 

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