Le problème de la Belle au bois dormant

par Jean Marie Champeau 25 Avril 2021, 13:08 illusion curiosité

Représentation de 1899 de la Belle au bois dormant.

Le problème de la Belle au bois dormant est un paradoxe probabiliste et philosophique polémique formalisé et énoncé en 2000 par Adam Elga professeur à l’université Princeton.

Il existe plusieurs interprétations et résultats différents qui coexistent. 

Historique

L'origine de ce problème est incertaine. Il est apparu dans la revue Games and Economic Behavior en 1997 par les auteurs Michele Piccione et Ariel Rubinstein qui proposent deux raisonnements, mais ne précisent pas lequel est correct.

La formulation actuelle du problème a été donnée par Elga en 2000 sous une forme différente. Le nom, The Sleeping Beauty Problem, traduit par Belle au bois dormant, a été donné par Robert Stalnaker.

Depuis de nombreux auteurs philosophes et probabilistes se sont penchés sur le problème avec des arguments et des conclusions différentes. 

Notons que Groisman annonce que les deux positions sont acceptables suivant le point de vue. De manière plus générale, certains auteurs, considèrent que le problème n'est pas suffisamment bien posé pour avoir une unique solution.

Ce problème ne fait toujours pas consensus.

Description

On explique l'expérience à La Belle au bois dormant.

Le dimanche soir, alors que la Belle au bois dormant est endormie, nous lançons une pièce de monnaie pour un tirage à pile ou face.

- Si la pièce tombe sur "face", le lendemain, le lundi, on la réveille et on a un entretien avec elle avant de la rendormir en lui administrant un somnifère qui lui fait complètement oublier les événements de la journée. Le mardi, la Belle reste endormie.

- Si c’est "pile", on la réveille le lundi, et on a un entretien avec elle, avant de la rendormir avec un somnifère à effet amnésique. Mais cette fois ci, le mardi, la Belle est réveillée une seconde fois, selon les mêmes modalités que le lundi : entretien, puis endormissement avec effet amnésique.

entretien


Durant l'entretien, qu'il soit uniquement le lundi, ou le lundi et le mardi, on lui pose la question : 
« À quel degré devez-vous croire que la pièce est tombée sur face ? » 
La princesse est parfaitement au courant des règles. Elle sait qu’une pièce a été lancée à pile ou face.

Que doit-elle répondre ?

Plusieurs raisonnements s'opposent. 
      

- Dans l’un, la Belle juge qu’il y a deux jours et deux côtés de pièce soit quatre combinaisons. 
Elle peut alors noter le cas favorable P(Lundi-face) = 1/4 et les cas possibles P(réveil) = 3/4. 
Et (1/4) / (3/4) = 1/3. 

- Un autre à ne voir que la pièce de monnaie et la Belle répond 1/2.

Précisions sur le problème

    • La pièce utilisée est équilibrée, la probabilité d'obtenir pile est la même que celle d'obtenir face, c'est-à-dire 1/2.
                                                      
    • La Belle est parfaitement au courant des règles et des modalités de l'expérience. On suppose également que la réponse de la Belle ne dépend que de la logique et du calcul des probabilités. Le problème revient à savoir quelle est la probabilité d'obtenir "face" du point de vue de la Belle.

    • Après chaque prise du somnifère, la Belle est dans la même situation qu'au début de l'expérience effectuée le dimanche soir. À chaque réveil, la Belle ignore donc si on est lundi ou mardi et si pile ou face a été obtenu.

=> J’ai éliminé les raisonnements supposant qu’on informe la Belle qu’on est Lundi car c’est contraire à ces précisions. De même j’ai allégé l’article des arguments des contradicteurs.

Les différentes réponses

Plusieurs résultats au problème ont été proposés, mais ils se contredisent. 

Pour un problème bien posé, il n'y a qu'une réponse valide. 
Ainsi certains chercheurs considèrent que le problème ainsi posé est insoluble ou autrement dit que les raisonnements proposés sont faux parce que le problème contient une contradiction ou une ambiguïté qu’ils ne prennent pas en compte. 

Le tiérisme(1/3)

Il consiste à conclure que la Belle répondra 1/3. Plusieurs raisonnements ont été proposés.

Le recours au théorème de Bayes (séquence étudiants)

Le philosophe Adam Elga qui a rendu célèbre le problème a proposé le raisonnement suivant :

Si elle sait qu’on est lundi,. . . n’allons pas plus loin, la belle ne sait pas si on est lundi (CF_précisions) 


Une autre façon d'utiliser le théorème de Bayes

De façon intuitive, on peut raisonner ainsi : la Belle juge qu’il y a deux jours et deux côtés de pièce soit quatre combinaisons. 

Elle peut alors noter le cas favorable P(Lundi-face) = 1/4 et les cas possibles P(réveil) = 3/4. 
Et (1/4) / (3/4) = 1/3. 
L’emploi du théorème de Bayes complique un peu les calculs mais conduit au même résultat.

En termes mathématiques, cela s'écrit comme suit:

permet d'obtenir:

Mais poser que la probabilité d’un réveil est de 3/4 semble hardi, sachant que la Belle est toujours réveillée le lundi quel que soit le résultat du tirage au sort. 
 

Multiplication des expériences ou fréquentisme

Le raisonnement fréquentiste s'intéresse à l'observation des résultats et au décompte des réveils lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois. 

La Belle connaît le protocole qui prévoit deux fois plus de réveils lorsque la pièce est sur pile, elle imagine que l’expérience est répétée, et que son réveil est un réveil parmi des milliers. Elle en déduit donc qu’elle a deux fois plus de chances de vivre un réveil-pile, ce qui l'amène à répondre 1/3 à la question de l'entretien (face).

Les chaînes de Markov (re-séquence étudiants)

Une manière de modéliser mathématiquement cet argument, est de considérer une chaîne de Markov. C'est-à-dire, on se place dans la modélisation à trois états et on donne les probabilités de passer d'un état à un autre.

    • Le passage de l'état Pile-Lundi à l'état Pile-Mardi est obligatoire, la probabilité est 1.

    • Après l'état Pile-Mardi, l'expérience est finie. Ainsi on passe à l'expérience de la semaine d'après avec un nouveau lancer de pile ou face.
- Le passage de l'état Pile-Mardi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2.
- Le passage de l'état Pile-Mardi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2.

    • Après l'état Face-Lundi, l'expérience est finie. De même que précédemment, on passe à la semaine d'après et :
- Le passage de l'état Face-Lundi à Pile-Lundi arrive lors d'un résultat pile, donc probabilité 1/2.
- Le passage de l'état Face-Lundi à Face-Lundi arrive lors d'un résultat face, donc probabilité 1/2.
La matrice de transition rassemble ces différentes probabilités et caractérise la chaîne de Markov.

Cette matrice admet un vecteur stable, c'est-à-dire vérifiant l'équation V=MV . Ce vecteur est 

V=(1/3, 1/3, 1/3)

Il représente les probabilités d'être dans chacun des trois états au bout d'un grand nombre de semaines. 

On retrouve donc l'équiprobabilité des trois états ce qui amène à la conclusion 1/3 face, 2/3 pile.

Explication par l’effet de loupe

Une explication « intuitive » du résultat « 2/3-1/3 » serait : il y a deux fois plus d’entretiens quand la pièce est tombée sur pile donc, quand il y a un entretien, il y a deux fois plus de chances d'observer que la pièce soit tombée sur pile. Le fait d'observer plusieurs fois le même résultat pile, est précisément ce qu’on appelle effet de loupe en probabilité.

Le demisme(1/2)
Deux verres d'eau à moitié pleins.

Il consiste à conclure que la Belle répondra 1/2. Plusieurs raisonnements ont été proposés.
David Lewis

- P(Lundi-Face)= 1/2 ; en effet, c’est ce que pense la Belle le dimanche soir, avant que l’expérience ne commence. À son réveil, aucune information ne lui permet de changer cette valeur.

- On obtient dès lors P(lundi-pile) = P(mardi) = 1/4.

- Mais lorsqu’elle apprend qu’on est lundi, . . . n’allons pas plus loin, la belle ne sait pas si on est lundi (CF_précisions) 

le double demisme

. . . n’allons pas plus loin, car ce raisonnement informe la Belle qu’on est Lundi, or la Belle ne sait pas si on est lundi (CF_précisions) 
 

Ambiguïté de l'énoncé

Une autre vision du problème est la « désambiguïsation » qui essaye de concilier les différentes visions en estimant que les réponses 1/2 et 1/3 sont en fait les réponses à deux questions distinctes que l’énoncé du problème mélange.

Boite avec des boules vertes et boules rouges.

Il est en effet possible de considérer le problème sous plusieurs angles comme on l'a vu.

Berry Groisman , pour sa part, commence par l’expérience suivante : à chaque fois qu’une pièce tombe sur face, on met une (=que le lundi) bille verte dans une urne ; lorsque c’est pile, on y met deux (=lundi+mardi) billes rouges. 

La probabilité d’introduire une bille verte dans l'urne est de 1/2 à chaque lancer. 

Mais la probabilité d’extraire une bille verte de l'urne est de 1/3. Il s'agit de deux événements distincts (introduction, extraction) donc leur analyse statistique est différente.          

De mon point de vue

S’il vaut quelque chose, mon point de vue est en accord avec cette dernière expérience.

Le Problème de la Belle au bois dormant contient en lui même une ramification conduisant à construire une autre expérience. Et selon qu’on a tiré "face" ou "pile" on crée des conditions différentes traduites par les billes vertes et rouges.  

La réponse à la probabilité d’avoir eu "face" suit celle de la bille verte : 1/3. 

Si on fait le même rêve plusieurs fois, on dit qu’il se réalise un jour et j’en ai rêvé au moins cent fois.

Princesse Aurore, Disney(1959)

 

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