PI=2, avec les limites

par Jean Marie Champeau 14 Avril 2021, 09:56 illusion pseudo

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir calculer la circonférence d’un cercle et de manipuler les limites.

"démonstration"

(Les points représentent des multiplications)

 

Cercle de rayon 1

On part d’un demi cercle  de rayon = 1                   

La circonférence d’un cercle = 2 x π x R
Le demi cercle est la moitié =  2 x π R/2, donc     

 π  x R

Comme R = 1 donc le demi cercle =  π  

Deux demi cercles de rayon 1/2

Si on trace deux demi cercles inscrits de rayon=  1/2 , ces deux demi cercles réunis font un cercle et donc la longueur du périmètre de ces deux demi cercles est donc :

2  π R=  le rayon des petits demi cercles = 1/2 donc

2  π 1/2 =  π 

4 demi cercles de rayon 1/4.

Si on construit 4 demi cercles de rayon 1/4.

Les 4 demi cercles correspondent à 2 cercles entiers donc 2  π R.
Le rayon des 4 demi cercles = 1/4 donc 2 x 2  π 1/4 =

 4  π 1/4 =  π 
 

8 demi cercles de rayon 1/8.

On construit 8 demi cercles de rayon 1/8.

Les 8 demi cercles correspondent à 4 cercles entiers donc 2 π R.
Le rayon des 8 demi cercles = 1/8 donc 4 x 2  π 1/8 = 


8  π 1/8 =  π 

16 demi cercles de rayon 1/16, puis 32 demi cercles, puis 64 etc. . .

A chaque fois on obtenu  π .

Imaginons qu’on poursuive le découpage, 16 puis 32 etc. . . 


On obtient une infinité de cercles collés contre le segment qui supporte notre premier demi cercle.

Cette infinité de demi périmètres qui valent à chaque fois  π  sur le segment qui a une longueur de 2.

Donc :  π  =  2

Ah bon ?

π  =  2 ?

Explication


Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur consistant à camoufler dans l’infiniment petit la transformation des périmètres des demi cercles en segments de droite. Evidemment, PI n'est pas égal à 2.
        
Comme le rayon devient « infiniment » petit on pourrait croire que les demi cercles sont confondus avec la droite mais si le rayon est au plus proche de 0 il n'est jamais nul donc la somme de la circonférence des demi-cercles n'est jamais égale à la longueur du segment. 
                 
L'erreur se situe dans la confusion entre la suite de demi-cercles avec le segment. Un demi-cercle est la moitié d'un cercle, or un cercle est un ensemble de point situé à même distance d'un centre. À partir du moment où "R" est différent de 0 , les points des demi-cercles ne sont pas alignés, et ne forment pas une droite. 


Les pseudo-démonstrations, s'effectuent généralement en deux étapes :

  • former une égalité de facteurs qu’on « peut simplifier » ou comme ici qu’on envoie vers une « limite ».
  • Via une « simplification » interdite en une division par zéro ou en enfreignant les règles pour obtenir un résultat absurde ou comme ici une confusion entre ce que l’on imaginerait (de très petits cercles qui se confondent avec la droite) et la réalité (ce sont toujours des cercles).

Démonstration que π = π dans cette suite.

(Les multiplications sont symbolisées par "x" minuscule)   

Soit "L" la longueur de la circonférence d’un demi  cercle.

L = Rπ 

Soit "n" le nombre d'étapes de construction.

"Rn" la longueur du rayon à l'étape "n" 
Par raisonnement de récurrence Rn+1=Rn x 1/2, 
alors 

Rn=(1/2)(n-1) 

Soit "Nn" le nombre de demi cercle à l'étape "n"     => Nn+1 = Nn x 2

alors 

Nn = 2(n-1)

Soit "Ln" la somme de la circonférence des demi-cercles à l'étape "n", 

                                                                                                                                       
Ln = Rn x Nn x π = (1/2)(n-1)x 2(n-1)x π 

Limite de "Ln" quand "n" tend vers +l'infini, on remarque que : (1/2)(n-1)x2(n-1) = 1 

donc 

Ln = 1 x π  =  π   

"Ln" est une fonction constante alors quand "n" tant vers l'infini "Ln" garde la même valeur. 

 

Ouf, on est sauvé!  π  =  π   

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