Tout=1, avec les suites

par Jean Marie Champeau 15 Avril 2021, 17:46 illusion pseudo

Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.

Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir, un peu, manipuler les suites arithmétiques.
 

"démonstration"


La somme d’une suite arithmétique de raison 1 est égale à :

1+2+3. . .n    =    n(n+1)
                              2

Plaçons nous au rang n-1 :

1+2+3. . .n-1    =    (n-1)n
                                  2

On ajoute 1 de chaque côté :

1+2+3. . .n-1 + 1=   (n-1)n  + 1
                            2

On simplifie -1 et +1 dans le membre de gauche :

1+2+3. . .n-1 + 1=    (n-1)n  + 1
                            2

               n(n+1)  =    (n-1)n + 1
        2                  2

multiplions par 2 :                                                                                               

             n(n+1)   =    (n-1)n + 2

On développe :


                n2 + n =    n2 – n + 2

 

Simplifions en enlevant les n2 de part et d’autre :

                 n   =      -n + 2

On passe le -n à gauche. 

        2n    =      2

Donc :

          n    =      1

      Tout entier = 1

Où est l’erreur ?

explication

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur consistant à supprimer subrepticement le -1 de n-1 pour terminer la suite par "n" et non "n-1".

Les pseudo-démonstrations, s'effectuent généralement en deux étapes :

    • former une égalité de facteurs qu’on « peut simplifier »

    • via la « simplification » interdite en une division par zéro ou en enfreignant les règles pour obtenir un résultat absurde.

Ici, on prend prétexte du calcul de la somme d’une suite arithmétique pour faire un tour de passe-passe consistant à introduire une valeur +1 pour l’enlever ensuite en maquillant la transformation de "n-1" en "n".

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