La Conjecture de Gilbreath

par Jean Marie Champeau 3 Mai 2021, 07:30 illusion curiosité

structures triangulaires issues des calculs sur les nombres premiers.
Sierpinski_triangle

La conjecture de Gilbreath est une conjecture non résolue attribuée à Norman L. Gilbreath en 1958, bien que déjà énoncée en 1878 par François Proth, qui croyait l'avoir démontrée.
                                                                                            

Elle semble avoir déjà été proposée par d’autres chercheurs au XIXe siècle.
 

Qu’apporterait sa résolution ? 

Difficile à dire, mais sans doute pas une révolution en théorie des nombres.

Définition 

Tableau des nombres premiers jusqu'à 100.

 

 

Pour commencer on écrit sur une première ligne la suite des nombres premiers.

 

tableau des différences entre les nombres premiers.

Puis on calcule la différence entre chaque premier et celui qui le suit (en valeur absolue). On répertorie la valeur obtenue sur la seconde ligne. On répète l’opération ensuite pour chaque ligne, jusqu’à la fin du tableau, ce qui équivaut, en notant "an" les valeurs de la suite d'une certaine ligne et "bn" celles de la ligne suivante, à :

bn = |an – an+1|.            

On remarque alors que la première colonne du tableau, juste en dessous du 2, ne contient que des 1. Et qu’aucun 1 n’apparaît d’ailleurs dans aucune autre case.

La conjecture de Gilbreath stipule qu’aussi loin qu’on répète l’opération :

La première colonne ne contiendra toujours que des 1.

On y voit bien le résultat de chaque addition, sous chaque paire de nombres premiers et ainsi de suite. Les couleurs utilisées dans le premier tableau, violet pour les 1, blanc pour les 0 et jaune pour tous les autres nombres, permettent également d’amusantes spéculations. 
 

Avec les 0 en blanc qui forment des structures triangulaires.

 

 

Les 0 sont donc ici en blanc et on remarque qu’ils forment des structures d’apparence triangulaires. 

Si on agrandit le tableau à une plus grande échelle, c’est-à-dire en prenant les 200 premiers nombres premiers, la triangulation des 0 est confirmée, comme on peut le voir ci-contre.

Voici une autre disposition du tableau, peut-être plus aisée à lire, avec cette fois uniquement les onze premiers nombres premiers.

disposition des différences en triangle pour les premiers nombres premiers.

 

L'impossibilité de l'existence de la théorie générale sur la répartition des nombres premiers successifs de 2 à l'infini implique qu’il est impossible de donner l'ordre général des nombres premiers.

La conjecture de Gilbreath se veut être indécidable. 

Depuis 2012, sa conjecture a été calculée et prouvée par le mathématicien portugais Tomas Oliveira e Silva pour tous les nombres pairs jusqu’à 4 x 1018

La comète de Goldbach

quantité de façons d'écrire un nombre en plusieurs nombre premier

Certains travaux ont consisté à étudier le problème, sans plus de succès, en passant par la quantité de partitions en nombres premiers correspondant à chaque nombre N. Elle est généralement notée r(N). 

Par exemple pour le nombre 100 :

100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
                            
Au total, il y a donc six partitions, six façons d’écrire 100 comme somme de deux nombres premiers. 

Autrement dit, pour N = 100, r(N) = 6. En toute légitimité, on peut dès lors supposer que plus N est grand et plus r(N) le sera aussi. 

Tous ces points ont été reportés sur un graphe qui présente un nuage appelé comète de Goldbach.

Mon grain de sel


La conjecture de Gilbreath se veut être indécidable, pourtant on devine bien qu’il y a une règle sous-jacente si toutes les lignes commencent par 1. 

Je vais tenter de décrire ce que je pense observer. 

 

schéma du calcul des nombres premiers de la forme 6k +-1.

1) On sait qu’un nombre premier est = à 6k+-1, il me semble que l’explication se situe là.

 

2) ligne 2 : Les deux premiers chiffres premiers se suivent (2,3) donc la première différence de la ligne n°1 est 1.

 

3) ligne 3 : Le second et le troisième nombre premier (3 et 5) sont espacés de 2 donc la différence des différences de la ligne n°2, commençant la ligne n°3 est aussi 1.

 

4) ligne 4 : Le troisième et le quatrième nombre premier (5 et 7) sont aussi espacés de 2 donc la différence des différences de la ligne n°3, commençant la ligne n°4 est aussi 1 en valeur absolue (1 et 0). Ici, on est arrivé, trois lignes plus bas, à 5 et 7 qui sont =  6 x 1 -1 ; (5)  et + 1 ; (7) 


          
5) Les lignes suivantes sont les comparaisons 2 à 2 des lignes contenant les différences, trois lignes plus bas, entre les nombres premiers dont la construction se répète tous les 6k

 

Chaque ligne de comparaison entre deux nombres premiers, se situant à 3 niveaux sous le nombre premier à l’origine des comparaisons on retrouve notre coefficient 6 (3 x 2) de la formule constitutive. Il est fatal de tomber sur 1 qui est la valeur absolue du + ou – 1 de la formule générale de constitution des nombres premiers :

6k+-1
 

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