L'illusion du paradoxe de Condorcet

par Jean Marie Champeau 4 Mai 2021, 07:24 curiosité de calcul

Le paradoxe de Condorcet est mis en évidence par le mathématicien révolutionnaire Nicolas de Condorcet.

 

C'est une exigence appliquée au système électif, qui voudrait que, s'il doit y avoir un vainqueur légitime à l'issue d'un vote, ce soit toujours celui qui, confronté tour à tour à chacun de ses concurrents, leur serait préféré par voie électorale.

 

C'est une illustration de ce qu'un vote à la pluralité donne souvent un résultat différent ou contraire aux volontés réelles du corps électoral. Selon la façon dont se déroule le vote, le résultat en sera influencé.

Principe

Un mode de scrutin doit dégager les préférences globales de la société à partir des préférences individuelles des électeurs.

Mais dès la fin du XVIIIe siècle, Condorcet et le chevalier de Borda remarquaient un défaut du système majoritaire pour les élections à plus de 2 postulants : il se pouvait qu'un candidat, préféré individuellement à tout autre, ne soit pas élu, on l’appelle candidat-Condorcet.

New York 1970

Lors de l'élection sénatoriale de 1970 dans l'état de New-York, on a pu reconstituer les préférences des électeurs dans une confrontation 2 à 2.

paradoxe de Condorcet tableau des votes Buckey, Goodell, Ottinger

 

Goodell aurait été élu au second tour dans tout face à face : c'était le candidat-Condorcet. 
Pourtant il fut battu avec 24% des voix contre 39% à Buckley et 37% à Ottinger.

 

Barre 1988

Il est généralement admis, mais avec moins d’évidence, que Raymond Barre était candidat-Condorcet dans l'élection présidentielle de 1988.

Etude

En 1951, l'économiste K. Arrow étudia le problème et définit 5 exigences (axiomes d'Arrow) pour un mode de scrutin juste :


1 - portée universelle : tous les cas possibles sont traités par la constitution.

 

2 - unanimité : si tous les électeurs préfèrent x à y, le système doit classer x avant y.

 

3 - indépendance de la détermination par paires : le classement collectif de x par rapport à y ne dépend que des classements individuels relatifs de x par rapport à y, et non du classement d'un autre candidat par rapport à x ou y.


4 & 5 - complétude & transitivité indiquent que la relation instaurée entre les candidats par le système de scrutin est un ordre total.

 

Des axiomes très raisonnables en somme... 


Mais un grave problème apparaît : K. Arrow démontre que la seule constitution satisfaisant toutes ces conditions est le système ou un seul individu peut imposer à la société ses préférences pour toute option. 


C'est à dire, une dictature.

Conclusion
W.Churchill faisant le célèbre « V » de la « Victoire », 5 juin 1943.
« V », 5 juin 1943.

Le problème est insoluble en démocratie. Au mieux on peut essayer de limiter les inconvénients d’un système électoral. 

 

«  la démocratie est la pire forme de gouvernement, à l'exclusion de tous les autres » 

 

Le 11 novembre 1947, à la Chambre des commun, quand Winston Churchill prononce cette phrase, il n'est pas, comme on pourrait le croire, le dirigeant tout-puissant d'une démocratie britannique qui a gagné la Seconde Guerre mondiale face aux dictatures, c’est un leader déchu.

Il n'est plus «que» leader de l'opposition, après avoir été, à la surprise générale, largement battu lors des législatives de juillet 1945 par le travailliste Clement Attlee.

 

Il reproche alors à un gouvernement qui s'enfonce dans l'impopularité, de chercher à diminuer les droits du Parlement, en amenuisant le pouvoir de veto de la Chambre des Lords, la deuxième Chambre du Parlement:    

                                                      

« Comment le très honorable. Gentleman conçoit la démocratie?

Permettez-moi simplement, monsieur le Président, de lui en expliquer certains des éléments les plus rudimentaires. La démocratie n'est pas un caucus, obtenant un mandat fixe par des promesses, puis faisant ce qu'elle veut avec le peuple. 


Nous estimons qu'il doit y avoir une relation constante entre les dirigeants et le peuple. "Gouvernement du peuple, par le peuple, pour le peuple" reste la définition souveraine de la démocratie.

 

La démocratie, je dois l'expliquer au Lord Président, ne signifie pas: "Nous avons notre majorité, peu importe comment, et nous avons notre bail de cinq ans, alors qu'allez-vous faire à ce sujet?" Cela n'est pas la démocratie, c'est seulement du petit baratin partisan, qui ne rencontre plus les habitants de ce pays. »

. . .

« Personne ne prétend que la démocratie est parfaite ou sage. On a dit que la démocratie était la pire forme de gouvernement, à l'exception de toutes les autres formes qui ont été essayées de temps en temps; mais il y a le sentiment général dans notre pays que le peuple doit régner, régner en permanence, et que l'opinion publique, exprimée par tous les moyens constitutionnels, doit façonner, guider et contrôler les actions des ministres qui sont leurs serviteurs et non leurs maîtres. »

 

Des lignes qui n’ont pas pris une ride !
 

Bonus

La méthode Condorcet ,aussi appelée scrutin de Condorcet ou vote Condorcet, est un système de vote dans lequel l'unique vainqueur, s'il existe, est le candidat qui, comparé tour à tour à chacun des autres candidats, s’avère à chaque fois être le candidat préféré. 

 

Un tel candidat est appelé vainqueur de Condorcet.

 

Rien ne garantit la présence d'un candidat satisfaisant à ce critère de victoire : c'est le paradoxe de Condorcet. Ainsi, tout système de vote fondé sur la méthode Condorcet doit prévoir un moyen de résoudre les votes pour lesquels ce candidat idéal n'existe pas.

 

Condorcet propose alors sa propre méthode, tout en admettant que l'organisation très lourde qu'elle implique, ne la rend pas très réaliste pour des élections importantes. 

 

Une des caractéristiques du vote Condorcet concerne son mode de dépouillement: il faut comparer les résultats de chaque choix avec ceux de chacun des autres choix. Or, le nombre de ces comparaisons augmente fortement avec le nombre de choix possibles : 3 comparaisons pour 3 choix possibles, 6 pour 4 choix, 10 pour 5 choix, 15 pour 6 choix, et ainsi de suite. 

 

Par comparaison, dans un scrutin uninominal majoritaire il suffit de décompter les votes favorables à chaque choix proposé, puis de classer par nombre décroissant de votes reçus pour déclarer le vainqueur.

 

La méthode Condorcet, même si elle présente de nombreux avantages théoriques, s'avère donc plus complexe à mettre en place et à expliquer que les modes de scrutin uninominaux majoritaires.
 

Les différentes méthodes de vote

Pour aller plus loin. . . 

Il y a deux modes de scrutin généraux : 

 

Le scrutin proportionnel

- Les sièges sont attribués selon le nombre de voix 
  De nombreuses méthodes de calculs existent, depuis la simple division par le nombre de sièges jusqu’à des calculs plus élaborés. Généralement, il est nécessaire de procéder à un second calcul pour attribuer les sièges restants à répartir.

 

Ce type de scrutin peut être très compliqué à mettre en œuvre car il fait appel à des calculs, quelquefois complexes qui sont sources de litiges dans leur définition et leur application.

Par ailleurs, il peut ne pas dégager de majorité claire.  

         
Le scrutin majoritaire 

- Election à un tour. Le vainqueur est celui qui a le plus de voix. 
- Election à deux tours. Le premier tour qualifie les deux finalistes.
- Le vote alternatif où chaque électeur classe les candidats. Les voix pouvant être attribuées directement ou pondérées selon le choix de classement.

 

Ce type de scrutin est simple mais empêche les électeurs de s’exprimer librement et incite à voter de façon stratégique par un vote « utile ».

 

Il dégage une majorité claire mais lamine les petites minorités et suscite des alliances. 

         

     
Le mode de scrutin parfait n’existe pas 

Tous les modes de scrutins ont des défauts. Même très complexes, les méthodes de calculs ne traduiront jamais les préférences des électeurs.


Certaines méthodes tentent de combiner scrutins majoritaire et proportionnel mais ils présenteront toujours des inconvénients.

On ne ment jamais tant qu'avant les élections, pendant la guerre et après la chasse.

Proverbe québécois

 

 

paradoxecondorcet

Sources

http://math.pc.vh.free.fr/divers/paradoxes/condorcet.htm

http://www.slate.fr/story/117949/churchill-democratie-valls

http://hansard.millbanksystems.com/commons/1947/nov/11/parliament-bill

https://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_Condorcet

http://www.electoral.fr/wp-content/uploads/2010/11/Les-mathématiques-du-vote_VBerthet.pdf

 

 

Photos

vote

https://fr.freepik.com/vecteurs/bulletin-vote

Bulletin de vote vecteur créé par freepik – fr.freepik.com

https://img.freepik.com/vecteurs-libre/vue-isometrique-case-election_23-2147927922.jpg

 

 

W. Churchill faisant le célèbre « V » de la « Victoire », 5 juin 1943.

Par British Government — This is photograph HU 55521 from the collections of the Imperial War Museums., Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3884379

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Churchill_V_sign_HU_55521.jpg

 

Calculs compliqués

https://images.pexels.com/photos/3768126/pexels-photo-3768126.jpeg

 

 

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    Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

    Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

    Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

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