Le paradoxe d’Arrow

par Jean Marie Champeau 24 Juillet 2022, 02:00 curiosité

Trois personnes devant un bureau de vote.
Choix multiples

Si un individu ayant des préférences classe une option A devant une option B, la présence d'une troisième option C ne doit pas, en principe, intervertir cette préférence. 

 

On dit que cela doit manifester la cohérence de son choix.

 

Supposons que chaque électeur ne puisse exprimer son opinion que de manière qualitative, en indiquant comment il classe les unes par rapport aux autres les options envisagées. 

 

Entre deux options, l'électeur indique celle qu'il préfère ou s'il est indifférent entre les deux.

 

Il s'agit d'agréger un ensemble de préférences individuelles en une préférence collective.

 

Dans ce cadre, il n'existe pas de processus de choix social indiscutable, qui permette d'exprimer une hiérarchie des préférences cohérente pour une collectivité à partir de l'agrégation des préférences individuelles exprimées par chacun des membres de cette même collectivité.

 

Le paradoxe

Le "paradoxe d'Arrow" également appelé théorème d'impossibilité d'Arrow, du nom de l'économiste américain Kenneth Arrow, est une confirmation mathématique, dans certaines conditions, du paradoxe soulevé et décrit dès 1785 par Nicolas de Condorcet. 

 

Arrow démontre, sous réserve d'acceptation de ses hypothèses, qu'il n'existe pas de système assurant la cohérence, hormis celui où le processus de choix social coïncide avec celui d'un seul individu, c’est à dire un dictateur.

 

 

aller voir

Le paradoxe de Condorcet indique que la définition d'une position commune à plusieurs votants se heurte à des difficultés logiques comme on peut voir le détail dans l’article là. . .

 

 

 

Ce théorème n'est pas un résultat positif. Il ne permet pas d'illustration systématique, mais constate que pour des choix non-binaires, il y aura toujours des situations problématiques. 
 

 

Explication

 

Dans tous les cas, il y a classement des candidats et non notation de ceux-ci, ce qui va être l'une des causes d'instabilité, un candidat largement préféré à celui qui le suit par un électeur ne se distinguant pas dans son classement d'un candidat qu'il préfère faiblement à celui qui le suit.

 

Le théorème de Gibbard-Satterthwaite
Trois pommes.


Alors que le théorème d'Arrow s'intéresse à la question de déterminer une fonction de choix social visant à dresser une liste de préférences collectives à partir des listes des préférences individuelles, une question plus fréquente consiste à choisir collectivement un unique élu à partir des préférences individuelles entre plusieurs candidats. 

 

Tel est l'objet du théorème de Gibbard-Satterthwaite. 

 

Celui-ci énonce le résultat suivant relatif à une procédure de désignation du gagnant à une élection :

 

    •  Chaque individu de la population classe des candidats à une élection selon un ordre de préférence personnelle.

 

    •  On suppose que chaque candidat peut se trouver élu si la population choisit de façon adéquate son ordre de préférence. Autrement dit, la procédure de désignation n'élimine aucun candidat.

 

    •  On suppose qu'il y a au moins trois candidats.


Dans la pratique, les procédures de désignation sont dites "manipulables", et il est fréquent qu'un votant ayant les préférences A > B > C vote pour B afin d'être sûr de ne pas voir C élu.

 

Ça ne vous rappelle rien ?


Comme on dit, une fonction de choix social qui présente les propriétés élémentaires énoncées est sensible aux options "non-pertinentes". 

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Choix multiples

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Trois pommes

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