Le paradoxe de Berry

par Jean Marie Champeau 30 Juillet 2022, 02:00 curiosité

Des lettres de différentes couleurs.

 

En français, les entiers naturels peuvent être décrits par des énoncés tels que : «dix puissance cent» ou «le plus grand nombre premier connu au vingtième siècle» etc. . . 

 

En supposant qu'il y ait 300 000 mots en français, les énoncés de "n" mots ne peuvent décrire plus de 300.000n entiers, en réalité beaucoup moins puisque la plupart des phrases ne parlent pas d'entiers.


L'ensemble des «nombres entiers naturels descriptibles par une expression de quinze mots ou moins» est donc fini, donc il existe forcément de nombreux entiers hors de cet ensemble. 

 

En revanche, l’expression «le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins», s’applique à un seul nombre (ou aucun), mais elle indique que l’on ne peut pas le décrire.

 

Mais justement, cet énoncé qui le décrit parfaitement, ne comporte que quinze mots. 

 

C’est le paradoxe de Berry

 

le paradoxe


Le paradoxe de Berry a été formulé par le mathématicien britannique Bertrand Russell en 1906 à propos du paradoxe de Richard, le «plus petit entier non nommable en moins de dix-huit syllabes qui paraît être ainsi nommé en dix-sept syllabes», et attribue cette définition paradoxale à un bibliothécaire londonien, G. G. Berry.

 

Toujours selon Russell, c'est une simplification, qui «a le mérite de ne pas dépasser les nombres finis», du paradoxe du «plus petit ordinal indéfinissable qui semble défini par la phrase même qui annonce qu'il est indéfinissable» (forme probablement due à Russell lui-même).

 

Explications

 

Bien que non descriptible, ce nombre est décrit par «le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins». Cet énoncé qui le décrit parfaitement, ne comporte que quinze mots. 

 

On le résout habituellement en formalisant le langage, ici celui qui permet de décrire les entiers, et en le distinguant du métalangage dans lequel est énoncée la phrase de Berry qui n'est alors plus paradoxale.


Poincaré, qui tenait à voir la raison des paradoxes logiques dans un maniement sans précautions de l'infini, disait, à propos du paradoxe de Berry, qui justement n'utilise que des notions finies: «Certains logiciens ont eux-mêmes tendu le piège où ils se sont amusés à tomber, et ils ont même été obligés de faire bien attention pour ne pas tomber à côté du piège».

Pinocchio.
aller voir


On peut considérer également qu'il met en jeu le même genre de questions que certaines formes du paradoxe du menteur, la phrase qui dit d'elle-même qu'elle est fausse.

 

Dont on peut aller voir le détail là. . . 

Eh oui, il y a des chercheurs qui cherchent à chercher !. . .
 

Tout est dans tout et réciproquement (en 6 mots)

Alfred Capus (abusivement attribué à Pierre Dac, quoique. . .)

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paradoxeberry

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commentaires
C
J'ai rien compris :D
Répondre
J
C’est normal, c’est un paradoxe.<br /> <br /> Plus sérieusement, si l’on peut dire, les chercheurs se sont extasiés sur le fait que l’on pouvait décrire un truc impossible à décrire et ce en quelques mots.<br /> <br /> En l’occurrence 15 mots suffisent à décrire «le plus petit entier naturel non descriptible» en disant qu’on ne peut pas le décrire.<br /> <br /> Le serpent se mord la queue, c’est pour ça que cette formulation renvoie au paradoxe du menteur qui dit : «je mens toujours». S’il ment, alors sa phrase est fausse : il ne ment pas toujours, et si sa phrase est vraie, il ment vraiment toujours et donc ce qu’il vient de dire est vrai, donc il ne ment pas toujours.<br /> <br /> Bon. . .<br /> <br /> N’importe qui peut faire mieux en désignant une chose qui n’a pas de fin est qui est aussi non descriptible, et ce en un seul mot : «infini» !<br /> <br /> Ou bien encore écrire un nombre dépassant le nombre d’atomes de l’univers : 10 puissance 100 , le GOGOL, dont on peut aller voir l’article là. . . .<br /> <br /> https://ivno.over-blog.com/2022/01/les-illusions-dans-la-vie-courante-l-illusion-du-gogol.html

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