Des illusions d'optique et des autres, les inventeurs et les explications. Des IVNOs,(I)llusions (V)isuelles de (N)ature (O)ptique. Des curiosités, des pseudo-démonstrations et des biais cognitifs, leurs applications, dans la publicité, dans la guerre ou dans la vie courante.

Les illusions, le paradoxe de Parrondo

par Jean Marie Champeau 22 Octobre 2022, 02:00 curiosité

Le paradoxe de Parrondo

L’eau n’arrête pas la lumière, l’anisette pure non plus. Pourtant, une fois mélangés, on obtient un liquide opaque qui arrête la lumière.

Si dans cette chimie apérolique, le mélange crée un corps qui n’a pas les mêmes propriétés que ses deux composants, on peut trouver le même comportement dans d’autres domaines.

Dans la théorie des jeux, en particulier, il est possible de combiner deux jeux perdants pour en faire un jeu gagnant, c’est Le paradoxe de Parrondo.

Le paradoxe

Un paradoxe, un cliquet perpétuel, l'escalier de Penrose.

Le paradoxe de Parrondo est un paradoxe de la théorie des jeux qui est bien souvent décrit comme "une stratégie qui gagne avec des jeux perdants".

Elle a été nommée du nom de son créateur Juan Parrondo, un physicien de l'Université complutense de Madrid.

Étant donné 2 jeux, chacun ayant une probabilité de perte plus grande que celle de gain, il est possible de construire une stratégie gagnante en jouant les 2 jeux alternativement.
Bien sûr, on ne choisit pas n’importe quels jeux perdants, il faut qu’ils soient en interaction l’un l’autre dont l’un comporte une condition très probable de gain.

Ce paradoxe est inspiré par les propriétés mécaniques des cliquets, instruments à dents de scie, couramment utilisés en automobile et en horlogerie.

Le paradoxe de Parrondo, figure 1. — figure 1

Considérons 2 points A et B ayant la même altitude, comme présenté Figure 1.

Dans le premier cas, nous avons un profil plat reliant ces 2 points. Si nous laissons une bille au milieu, se déplaçant de manière aléatoire, celle-ci va osciller vers l'une ou l'autre des extrémités avec la même probabilité.

Dans le second cas, on inclut un profil en dents de scie dans la région comprise entre les points A et B.

Le paradoxe de Parrondo, figure 2. — figure 2

Si on incline le profil vers la droite comme sur la Figure 2, il devient évident que les cas présentés ci-dessus seront biaisés en faveur du point B.

Si on laisse quelques événements sur le premier profil au point E, ils se distribuent sur le plan de manière préférentielle vers D et seulement quelques uns se distribuent vers C, pour ensuite avoir une plus grande probabilités de revenir vers D.

Cependant si on applique le second profil quand un certain nombre d’événements sont au point C en restant avant le point D, on atteint une situation où la majorité va retrouver le point E, mais certains seront partis dans la pente avant C, se rapprochant ainsi de A.

Ensuite on peut reprendre le premier profil et répéter l'opération. Il vient alors simplement qu'à terme nous aurons quelques événements en A, la majorité en E, mais aucun en B.

Si on considère la présence des événements en A comme un gain, et en B comme une perte, il est clair que l'on vient de créer un jeu où il est possible de gagner en jouant à 2 jeux dits « perdants ».

Exemple

Soient deux jeux, Jeu "1" et Jeu "2" ayant les règles suivantes(*) :

- Dans le Jeu "1", on lance une pièce truquée (ε), pièce 1, "Face" est "gagnante" avec la probabilité de succès :

p1=1/2- ε
(donc "Pile" est plus souvent gagnante avec la probabilité 1-p1=1/2+ε )

- Le jeu "2" est un peu plus compliqué, on vérifie que le capital est un multiple de 3,

si ce n’est pas le cas, on lance la pièce n°2 où "Face" gagne avec la probabilité :

p2=3/4-2ε

si c’est le cas on lance une pièce n°3 où "Face" gagne avec la probabilité :

p3=ε,

Les deux jeux "1" et "2", joués seuls, sont perdants lorsque ε > 0.

Il est clair que le Jeu "1" est perdant à long terme.
On peut montrer la même assertion pour le Jeu "2".

Il est néanmoins possible de construire une stratégie gagnante en alternant ces 2 jeux en fonction du résultat précédent.

Le jeu précédent peut être décrit par analogie avec les dents de scie de la figure 2 :

• La pièce 1 représente le premier profil, légèrement incliné vers B, cela afin d'avoir un jeu perdant correspondant au trucage de la pièce.

• La pièce 2 (3/4) représente les segments de droites remontants de droite à gauche, de E vers C, ce sont eux qui laissent espérer une issue positive.

• La pièce 3 correspond à la compensation, dans 1/3 des cas, pour obtenir la même probabilité que p1 pour l’ensemble p2(dans 2/3 des cas) + p3(dans 1/3 des cas) :

[(3/4-2ε) * 2/3] + 1/3ε = (6/12-4/3ε) + 1/3ε = 1/2 - ε

- - -

(*) Dans l’exemple original de Parrondo, les deux jeux sont nommés "A" et "B", j’ai préféré les baptiser "1" et "2" pour ne pas créer de confusion avec les lettres des schémas.

- - -

Explication

Notons d’abord un point essentiel : c’est l’existence d’un paramètre commun aux deux jeux et intervenant dans les règles, la valeur du capital du joueur, qui est à l’origine du phénomène paradoxal. Les deux jeux associés sont dépendants, chaque jeu faisant évoluer le paramètre partagé.

S’il n’y avait pas ce lien entre les jeux "1" et "2" qui fait que ce qui se passe avec le jeu "1" influe sur le jeu "2", et réciproquement, alors on pourrait appliquer des raisonnements montrant que le résultat ne peut être qu’un jeu perdant.

L’explication de ce qui se passe dans le cas du paradoxe de Parrondo provient de ce que le jeu "2" est composé d’un jeu perdant (p3) et d’un jeu gagnant (p2). Le jeu gagnant est battu par le jeu perdant quand on joue "2" seul, mais s’impose plus fréquemment quand "2" est mélangé à "1".

On passe d’un jeu perdant à un jeu gagnant si la perturbation de l’interaction est suffisante, ce qui est le cas quand on passe du le jeu "1" au jeu "2", en transformant un capital multiple de 3 en non multiple et déclenchant plus souvent p2 qui est gagnant..

On comprend qu’il n’y a là rien de miraculeux, puisque les jeux qui partagent un paramètre (la valeur du capital du joueur) ne sont pas indépendants. Les interactions des jeux changent parfois les dynamiques des jeux comme si un intervenant extérieur en manipulait les résultats.

Applications

Le paradoxe de Parrondo est utilisé en théorie des jeux, et ses applications en ingénierie, dynamique des populations, risques financiers font aussi l'objet de recherches.

La plupart des chercheurs décrivent son utilité sur les marchés financiers comme la théorie le spécifie.

Les 2 jeux "1" et "2" doivent être conçus pour copier un cliquet, ce qui signifie qu'ils doivent être en interaction.

Chaque fois que l’on rencontre un cas où l’interaction de deux entités négatives en produit une positive, il est devenu courant, et abusif, de dire qu’il s’agit d’une «variante du paradoxe de Parrondo», et cela explique en partie le grand nombre d’articles mentionnant le paradoxe.

C’est là un usage un peu excessif de l’expression, car on connaît depuis bien longtemps en physique et en mathématiques des situations où deux propriétés négatives combinées en donnent une positive.

L’anecdote du début de cet article, qu’on nommerait "effet pastis" est une telle situation. Doit-on y voir une variante du paradoxe de Parrondo ?

S’il ne faut sans doute pas accorder au paradoxe de Parrondo une importance excessive, il permet de réfléchir aux conditions de composition qui assurent l’additivité des espérances, et donc que la composition de deux jeux perdants le sera encore, il évite de tomber dans le piège de l’oubli de la condition d’indépendance.

Le paradoxe de Parrondo est seulement une mise en garde contre une mauvaise interprétation des résultats sur la composition de jeux et la confusion entre jeux indépendants et jeux liés.

Mais, le désir de miracle est insatiable, y compris chez les plus rationnels des scientifiques.

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paradoxeparrondo

Sources

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Parrondo

http://jm.davalan.org/proba/parr/index.html

https://www.cristal.univ-lille.fr/profil/jdelahay/pls:2012:225.pdf

Photos

Figure 1

CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=644958

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/01/Parrandos_Paradox_Unbiased_Games.PNG

Figure 2

CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=644959

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Parrandos_Paradox_Biased_Games.PNG

L’escalier de Penrose

Par Sakurambo — Travail personnel, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=794844

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Impossible_staircase.svg/1024px-Impossible_staircase.svg.png

Mouvement à cliquet

Par Chetvorno — Travail personnel, CC0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=33176691

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/29/Anchor_escapement_animation_217x328px.gif

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Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

Jean Marie Champeau

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