Les illusions, Mr Jean et le théorème de Morley

par Jean Marie Champeau 30 Septembre 2023, 02:00 curiosité géométrique

 

Mr Jean et le théorème de Morley

 

Mr Jean, est un petit fûté. Sur son terrain triangulaire quelconque, il voudrait tracer un espace au centre de son terrain.

 

En tendant des fils à partir de chaque sommet qui découpent chaque angle en trois angles égaux(*1), il va pouvoir tracer ce petit espace.

 

Il sait que cet espace a une forme bien particulière car il connaît le théorème de Morley.

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(*1) Nous connaissons tous le terme bissectrices qui sépare un angle en deux parties égales. Dans le cas de trois parties égales d’un angle, on parle de trissectrices.

 

Si nous n’avons pas oublié comment on construit une bissectrice avec un compas et une règle, il y a peu de chance de se souvenir de la méthode de construction des trissectrices. Et pour cause ! Il est impossible de tracer la trisection d'un angle quelconque "à la règle et au compas" comme l'a démontré le mathématicien français Pierre-Laurent Wantzel en 1837.

 

Soit Mr Jean ressort son vieux rapporteur de son tiroir, soit il se rend à la fin de l’article pour découvrir la méthode des compagnons bâtisseurs du moyen âge pour savoir comment tracer des trissectrices approximatives.

 

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Le théorème 

 

 

 

Le théorème de Morley stipule que les intersections des trissectrices des angles d’un triangle quelconque forment un triangle équilatéral.

 

Ce théorème étonnant a été découvert en 1898 par Franck Morley(*2).

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(*2) Frank Morley est un mathématicien britannique, connu principalement pour son enseignement et pour ses recherches en algèbre et en géométrie. Il a en particulier prouvé le théorème de Morley en géométrie plane.

 

Il est le père du romancier Christopher Morley, du journaliste lauréat du prix Pulitzer Felix Morley et du mathématicien Frank Vigor Morley.

 

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Démonstration

 

Démonstration de Conway.
démonstration de Conway

 

Plusieurs démonstrations ont été proposées dont certaines sont assez compliquées. Nous allons nous contenter de la démonstration géométrique aussi simple que géniale de Conway. (dite "démonstration Ah Ah !").


L'idée géniale de Conway a été de construire un puzzle constitué de sept triangles qui vont permettre très simplement de reconstituer le triangle de départ.

 

On part du triangle central équilatéral et on l'entoure de triangles dont les côtés et les angles sont définis de façon précise et astucieuse.

 

Comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, donc :

 

a+b+c =180°/3 = 60°

 

Un triangle équilatéral a trois angles égaux à 60°.

 

On reconstitue naturellement le triangle original ABC comme indiqué ci-contre.

 

C’est pas beau ça ?

 

Trissectrices des bâtisseurs
Le tracé des trissectrices des bâtisseurs.
trissectrices des bâtisseurs

 

Une trissectrice est l'une des deux droites qui partagent un angle en trois angles de même mesure.
Il est impossible de tracer la trisection d'un angle quelconque "à la règle et au compas". 

 

Mais comme les compagnons bâtisseurs du moyen âge ne savaient pas que c'est impossible puisque la preuve n'en a été apportée qu'en 1837, ils avaient trouvé une méthode pour les tracer quand même!


On veut couper en trois l'angle en O.

 

En traçant un cercle de centre O, on crée les points A et B sur les côtés de l'angle <O>.

On a donc l’angle <AOB>, avec les points A et B sur le cercle (c) de centre O, ainsi que le point C diamétralement opposé à B.


Le but est de construire, sous O le triangle équilatéral BCD en traçant le point D à l’intersection des deux arcs de cercles de centre C passant par B, ainsi que de centre B passant par C.

 

On trace la droite (AD) qui coupe [BC] en E.

 

On place les points F et G qui divisent le segment [EB] en trois parts égales.
Les droites (DF) et (DG) coupent le demi-cercle (c) en M et N.

Les angles <AOM>, <MON> et <NOB> sont sensiblement égaux, l'angle donné <AOB> se trouve ainsi approximativement divisé en trois.

 

Comme quoi, les anciens ont encore des choses à nous apprendre !

 

 

 

 

theorememorley

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