Les illusions, Mr Jean et le théorème de Viviani

par Jean Marie Champeau 26 Septembre 2023, 02:00 curiosité géométrique

 

Mr Jean et le théorème de Viviani

 


Mr Jean, qui décidément achète beaucoup de terrains, a fait l’acquisition d’un espace triangulaire dont les trois côtés sont égaux.

 

Ce terrain est constitué de trois parcelles dont on ne connaît que les dimensions à l’intérieur du triangle.

 

Mr Jean voudrait bien entourer son terrain mais pour ça, il faut connaître la longueurs des côtés. Comme il ne peut pas se déplacer pour faire des mesures, il va falloir qu’il calcule.

 

Mr Jean, plein de ressources, a entendu parler du théorème de Viviani, mais est-ce que ça va pouvoir l’aider ? 

 

Le théorème 

 

Le théorème de Viviani stipule que si on prend un point quelconque à l'intérieur d'un triangle équilatéral et que l'on mesure les distances qui le séparent de chacun des trois côtés, on obtient la longueur de la hauteur.

 

Dans le dessin à droite, cela revient à dire que peut importe où on place le point M à l'intérieur du triangle on aura toujours :

 

CP = MD + ME + MF

 

Pour le démontrer on utilise les caractéristiques du triangle équilatéral.

 

On trace la parallèle à (AD) passant par M pour poser le point G.

 Puis K le projeté orthogonal de G sur (AD). 

 

Alors MD = GK.

 

On construit le triangle équilatéral IGM de côté de longueur GM. 

Puis F le projeté orthogonal de M sur (AC) et L le projeté orthogonal de I sur (GM). 

 

Alors MF = IL.

 

On construit le triangle équilatéral CIJ de côté de longueur CI.

Puis O le projeté orthogonal de I sur (BC).

 

ME = IO car les droites (IM) et (CE) sont parallèles. En effet les angles correspondants <ICJ> et <GIM>sont de même mesure.

Puis N le projeté orthogonal de C sur (IJ). 

 

Alors CN = IO = ME.


Conclusion :

MD + MF + ME = GC + IL + CN =  CP
 

- - -

 

(*1) Vincenzo Viviani, est un mathématicien, physicien et astronome italien du 17e siècle, disciple de Galilée. On lui doit notamment cet étonnant théorème dans un triangle équilatéral.

Il publie en 1659 un important traité sur les coniques.

En 1666, la réputation de Viviani en tant que mathématicien est reconnue dans toute l'Europe.

À sa mort, en 1703, Viviani laisse un travail presque achevé sur la résistance des solides, qui est ensuite complété et publié par Luigi Guido Grandi.

En son hommage, un cratère lunaire porte son nom.

 

- - -


Mr Jean connaît maintenant la hauteur du triangle, mais il n’a pas fini.

 

Comme tout le monde, il connaît le théorème de Pythagore et ça lui permet de calculer la longueur d’un côté à partir de la hauteur.



Avec tout ça Mr Jean va pouvoir commander la bonne longueur de fils pour faire son entourage.

Quant au nombre de poteaux nécessaires, ça, c’est une autre histoire !

 

 

 

 

theoremeviviani

Sources

http://tolokoban.org/Articles/TheoremeViviani/index.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Viviani

https://www.mathweb.fr/euclide/2018/09/02/le-theoreme-de-viviani/

http://www.rozenblum.com/un-point-dans-un-triangle-equilateral/

https://fr.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Viviani

https://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_équilatéral

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/Trgequil.htm

Photos

couverture

http://tolokoban.org/Articles/TheoremeViviani/index.html

 

Figure du théorème de Viviani.

Par Salix alba, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4429359

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Vivani.svg/800px-Vivani.svg.png

 

démonstration du théorème de Viviani

http://www.rozenblum.com/wp-content/uploads/2019/11/viviani-1.png

 

calculs par rapport à la hauteur

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Types/Trgequil_fichiers/image069.jpg

 

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