Des illusions d'optique et des autres, les inventeurs et les explications. Des IVNOs,(I)llusions (V)isuelles de (N)ature (O)ptique. Des curiosités, des pseudo-démonstrations et des biais cognitifs, leurs applications, dans la publicité, dans la guerre ou dans la vie courante.

Les illusions, Mr Jean et le théorème du carreleur

par Jean Marie Champeau 6 Octobre 2023, 02:00 curiosité géométrique

Mr Jean et le théorème du carreleur

Mr Jean arrive au bout de ses projets. La maison est construite, il ne lui reste plus qu’à poser le carrelage au sol.

Il se demande quelle disposition de pavage il va choisir car il peut commander des carreaux de différentes formes.

Pourriez vous l’aider ?

Mr Jean sait que le choix n’est pas trop compliqué car il connaît le théorème du carreleur.

Le théorème

Le théorème du carreleur stipule qu’il n’existe que 11 pavages possibles en n’utilisant que des carreaux réguliers qui respectent les deux règles suivantes :

- Chaque coin de carreau ne touche que des coins (condition de non-décalage)

- On retrouve la même disposition autour de chaque coin (condition des coins identiques)

Sur un plan, il n’existe que trois pavages réguliers définis par Platon, et 8 pavages semi-réguliers définis par Kepler.

Démonstration

Dans un pavage du plan, la somme des angles internes des polygones se rencontrant à un sommet est égale à 360 degrés.

Pavages réguliers

Un pavage est dit régulier s'il consiste en un seul type de polygone régulier.

On sait depuis les mathématiques de la Grèce antique, que seuls trois polygones réguliers peuvent paver le plan, c’est-à-dire le recouvrir sans superpositions, en utilisant des copies de la même tuile, aucun sommet ne se trouvant sur un côté.

Il s’agit du triangle équilatéral, du carré et de l’hexagone régulier.

En effet, les angles internes d’un polygone régulier de n côtés mesurent :

(n−2)180º/n.

Si on juxtapose m de ces polygones autour d’un sommet commun, alors l’angle total qui y est regroupé est égal à :

m(n−2)180º/n.

Bien sûr, le pavage doit être un angle complet de 360°, donc:

m(n−2)/n = 2 => m(n - 2) = 2n
=> mn -2m- 2n = 0
+4 de chaque côté => mn -2m -2n + 4 = 4
=> (m−2)(n−2)=4

Puisque les seules manières de décomposer 4 comme un produit sont :

4×1 = 2×2 = 1×4,

on a trois possibilités où les pièces convergent à chaque sommet :

Les trois dispositions possibles en pavage régulier.

m−2 = 4, n−2 = 1 : dans ce cas, m=6 et n=3, c’est-à-dire six triangles équilatéraux.

m−2 = 2, n−2 = 2 : dans ce cas, m=n=4, donc quatre carrés.

m−2 = 1, n−2 = 4 : dans ce dernier cas, m=3 et n=6, et trois hexagones réguliers.

Pavage triangulaire, — pavage triangulaire

Pavages semi-réguliers

On peut concevoir des pavages plus intéressants en mélangeant des polygones réguliers. On peut commencer avec le pavage par des hexagones réguliers puis diviser au hasard ces polygones en triangles équilatéraux.

Ces pavages sont dits semi-réguliers.

Pour assurer la sécurité de la pose, la règle consiste à concevoir un arrangement de telle façon qu'un sommet soit toujours entouré des mêmes polygones, dans le même ordre.

Pavage non conforme. — pavage non conforme

Par conséquent les pavages pour lesquels les sommets des polygones se trouvent sur des côtés d’autres polygones, comme le pavage ci contre sont non conformes.

À chaque configuration on peut associer une liste ordonnée de nombres, à savoir les nombres de côtés des polygones autour des sommets. Puisqu’il n’y a pas de choix spécial d’un « premier » polygone autour d’un sommet, on se réfère à l’ordre cyclique(*1).

En ce sens, les configurations (3636) et (6363) sont équivalentes entre elles.

- - -

(*1) La notation des listes ordonnées de nombres peut également être utilisée pour des pavages réguliers.

A titre d’exemple, la disposition des hexagones correspond à la configuration (6-6-6).

- - -

Archimède a étudié quels sont les pavages semi-réguliers possibles du plan. Le sujet a refait surface au début de l’ère moderne, lorsque Kepler a réussi à obtenir une description complète, qui est résumée dans le théorème ci-dessous.

Les configurations de Kepler. — configurations de Kepler

"Il existe 8 configurations possibles pour des pavages semi-réguliers du plan, à savoir (33336), (3636), (33344), (33434), (3464), (488), (31212) et (4612)"

Les carreleurs ont donné des noms aux différentes dispositions :

disposition régulière

Les dispositions sont nommées par les nombres de faces de leurs carreaux.

Maintenant, si Mr Jean veux plus de variété, il pourra se tourner vers les recherches du père Jean Truchet, dit Père Sébastien, qui a mis au point une méthode de pavage dont la tuile de base est un carré colorié avec un motif bicolore de part et d’autre d’une diagonale et qui permet de faire une infinité de dessins différents.

Alors si ça le tente, rendez-vous est donné dans les pavages de Truchet !

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theoremecarreleur

pavagepolygonesreguliers

pavagepolygones

polygonesreguliers

Sources

http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=pavages

https://bellingeri.users.lmno.cnrs.fr/webpaolotassellazioni/html/carreleur.html

https://bellingeri.users.lmno.cnrs.fr/webpaolotassellazioni/html/link_penta.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_par_des_polygones_réguliers

http://www.inclassablesmathematiques.fr/archive/2017/10/01/il-n-existe-que-15-pavages-pentagonaux-possibles-5985104.html

https://images.math.cnrs.fr/Quelques-pavages-par-des-polygones-reguliers.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Platon

https://images.math.cnrs.fr/Les-pavages-de-Truchet.html

Photos

carreaux

https://fr.freepik.com/photos-gratuite/plancher-ceramique-brown_1007892.htm#query=carrelage&position=47&from_view=search&track=sph

Image de jannoon028 sur Freepik

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polygones réguliers

https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/reg.jpg

Pavage triangulaire.

Par R. A. Nonenmacher — Created by me, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4461437

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Tiling_Regular_3-6_Triangular.svg/800px-Tiling_Regular_3-6_Triangular.svg.png

Pavage carré.

Par R. A. Nonenmacher — Created by me, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4461460

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Tiling_Regular_4-4_Square.svg/800px-Tiling_Regular_4-4_Square.svg.png

Pavage hexagonal.

Par R. A. Nonenmacher — Created by me, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4461507

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Tiling_Regular_6-3_Hexagonal.svg/800px-Tiling_Regular_6-3_Hexagonal.svg.png

Pavages combinés

https://images.math.cnrs.fr/local/cache-vignettes/L300xH142/inf-a259c.jpg

pavage non conforme

https://images.math.cnrs.fr/local/cache-vignettes/L300xH199/noveve-2e695.jpg

3-6-3-6

https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/3366.jpg

666 hexagones

https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/reg.jpg

configurations de Kepler

https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/conf.jpg

Pavages semi réguliers de Kepler

https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/entrada-2-2.jpg

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Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

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