Illusion, Réel >=0 avec les puissances

par Jean Marie Champeau 22 Mars 2025, 03:00 pseudo

 


Le terme pseudo-démonstration d'égalité renvoie à l'apparente exactitude de démonstrations d'égalités qui à l'évidence sont fausses.


Pour développer celle-ci, on a juste besoin de savoir, un peu, manipuler les puissances. 

 

"démonstration"


(Les points représentent des multiplications)

 

"R" est l’ensemble des nombres réels, c’est à dire les nombres positifs et négatifs y compris ceux qui ont des décimales.

 

Les nombres réels élevés au carré sont toujours positifs :(1)

x2 ≥ 0 
 

 

On peut élever la puissance des deux membres d’une équation sans en changer le résultat :(2)

(x2)1/2 ≥ (0)1/2 

 

Ainsi :(3)

x2.1/2 ≥ 0 


Donc :(4)

x1 ≥ 0 


Pour tout "x" dans "R" on a donc :(5)

x1 ≥ 0 


Mais ! Ou est l’erreur ?    

  

 

explication

 

Cette pseudo-démonstration s'appuie sur l'erreur consistant à faire une opération en enfreignant la règle des puissances.


    
Ici, on "simplifie" la ligne (2) en enlevant les parenthèses des puissances, or la propriété:

 (xn)1/m = xn.1/m 

n’est vraie que si "x" est positif ou nul(*).

- - -

 

(*) Evidemment ! Supposons que x = -1, (-1)1/2 équivaut à √-1 qui n’est pas un nombre réel.

 

- - -

2+2=5

 

 

reel=0

reelspositifs

nombresreelspositifs

reelpositif

nombrereelpositif

Sources

d’après "Le grand livre des énigmes" de Fabrice Mazza et Sylvain Lhullier, ed. Marabout, 2015, P 76.


 

 

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