Des illusions d'optique et des autres, les inventeurs et les explications. Des IVNOs,(I)llusions (V)isuelles de (N)ature (O)ptique. Des curiosités, des pseudo-démonstrations et des biais cognitifs, leurs applications, dans la publicité, dans la guerre ou dans la vie courante.

Les illusions, le paradoxe de Hilbert

par Jean Marie Champeau 16 Février 2025, 03:00 curiosité logique

Le paradoxe de Hilbert

Hotel infini, photo de Joel Filipe sur Unsplash. — Hotel infini

Supposons qu'un hôtel possède un nombre infini de chambres, numérotées par nombre entier à partir de 1, et toutes occupées.

Malgré cela, l'hôtelier pourra toujours accueillir un nouveau client, c’est le paradoxe de Hilbert.

Le mathématicien allemand David Hilbert a présenté ce paradoxe lors d'une conférence en 1925.

L'hôtel de Hilbert, ou hôtel infini de Hilbert, illustre une propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématiques, qui est que, contrairement à ce qui se passe pour les ensembles finis, une partie stricte peut avoir autant d'éléments que le tout.

Cardinalité

Une bijection simple sur quatre éléments. — bijection simple sur 4 éléments

La définition mathématique de la cardinalité prolonge la notion de "nombre d'éléments", intuitive dans le cas des ensembles finis, en lui donnant un sens sur des ensembles infinis.

Sa définition utilise les bijections, c'est-à-dire une mise en relation de chaque élément de l'ensemble de départ vers un élément unique de l'ensemble d'arrivée, autrement dit, une "correspondance un à un".

Deux ensembles qu'il est possible de mettre en bijection sont alors dits équipotents ou équivalents, ce qui suggère l'idée intuitive d'avoir "autant d'éléments".

Cette idée de correspondance, élémentaire dans le cas des ensembles finis, peut être étendue aux ensembles infinis. Le cardinal d'un ensemble, son nombre d'éléments dans le cas fini, est un représentant unique d'une classe d'ensembles tous équipotents entre eux.

L'hôtel de Hilbert illustre que deux ensembles infinis tels que l'un est strictement inclus dans l'autre peuvent être équipotents, c'est-à-dire avoir même cardinal, ce qui est manifestement faux pour les ensembles finis.

C'est la raison pour laquelle cette propriété peut paraître paradoxale. Mais l'arithmétique des nombres cardinaux infinis est très différente de l'arithmétique ordinaire.

Implicitement, tous les ensembles infinis dont il est question ont été supposés numérotés par les nombres entiers, c'est-à-dire qu'ils sont dénombrables.

Accueil d'un client supplémentaire

Ajout d'une personne dans un hôtel de Hilbert plein: chaque client se déplace d'une chambre pour libérer la chambre 1 — Ajout d'une personne dans un hôtel de Hilbert

Comment fait-on pour accueillir une nouvelle personne ?

On ne peut pas l'envoyer "au bout", il n'y arrivera jamais ! Alors Hilbert propose de déplacer tout le monde d'un cran.

Pour accueillir un client supplémentaire, il suffit que l'hôtelier demande à l'occupant de la première chambre de s'installer dans la seconde, à celui de la seconde de s'installer dans la troisième, "et ainsi de suite".

Un occupant de la chambre "n" va se déplacer en chambre "n+1".

De cette manière, en demandant un déplacement fini à chacun (+1, est un nombre fini), les clients déjà logés le restent, et la première chambre devient libre et peut accueillir le nouveau client.

De même si 500 personnes arrivent : on déplace tout le monde de 500 places, qui est un déplacement fini également. Et de même pour n'importe quel nombre fini de personnes.

Le fait que la fonction qui, à un entier "n" associe son successeur "n+1" établit une bijection de l'ensemble des entiers naturels, comptés à partir de 1, dans le sous-ensemble des entiers naturels, comptés à partir de 2.

Il serait incorrect de dire qu'il y a autant d'entiers supérieurs à zéro que d'entiers supérieurs à 1, puisque il manque le nombre 1 dans le second cas.

En revanche, il est correct de dire que les entiers supérieurs à zéro, et les entiers supérieurs à un, ont le même cardinal, puisqu'on peut les mettre en correspondance un à un.

Accueil d'une infinité de clients supplémentaires

Tant qu'on y est, se présente devant l'hôtel de Hilbert un autobus d'une longueur infinie, plein à craquer, pour que ses passagers passent la nuit à l'hôtel.

Impossible de déplacer tout le monde d'un nombre "infini" de chambres pour accueillir cette infinité de clients supplémentaires.

Aucun client ne peut aller vers l'infini, il faut une autre idée.

L'hôtelier peut tout de même accueillir cette infinité de nouveaux clients.

Pour ce faire, Hilbert propose de déplacer chaque client dans la chambre de numéro double de la sienne.

Il faut que le client occupant la chambre n° 1 prenne la chambre n° 2, l'occupant de la n° 2 la n° 4, celui de la n° 3 la n° 6, "et ainsi de suite", le client de la chambre "n" allant se reloger à la chambre "2n".

La fonction qui, à un entier "n" associe son double "2n" établit une bijection du même ensemble dans celui des entiers pairs, comptés à partir de 2. D'autre part la fonction qui à "n" associe "2n-1" établit une bijection de ce même ensemble dans celui des entiers impairs, comptés à partir de 1.

Ceci démontre que l'ensemble des entiers, l'ensemble des entiers pairs, et l'ensemble des entiers impairs, sont trois ensembles de même cardinal.

Ici, tous les ensembles infinis et dénombrables en jeu ont le même cardinal.

Mais, comme l'a montré le créateur de la théorie des ensembles, Georg Cantor(*1), il existe des ensembles infinis qui ne sont pas dénombrables, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas même cardinal que les précédents.

- - -

(*1) Georg Cantor, mathématicien allemand du 19^e siècle, établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont "plus nombreux" que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une "infinité d'infinis".

Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Bien que le travail de Cantor soit mathématique, il est d'un grand intérêt philosophique et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats.

Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevée. Car la notion même de l’infini est de ne pas avoir de fin.

- - -

Mon grain de sel

Comme on le voit, ce raisonnement est une spéculation et n’a d’intérêt que par la manipulation de la notion d’infini, par définition, "sans fin", avec des valeurs finies. Il repose sur les définitions des termes mathématiques et les exploite pour en tirer des conséquences inattendues.

Pour ma part j’y vois une difficulté dans chacun des deux cas.

Dans le cas d’ajout d’un seul client, on établit une procédure de décalage au motif que le nouveau client n’arriverait jamais "au bout" si on l’y envoyait. Or, il se pourrait bien que le client de la chambre ∞ ne puisse jamais arriver à la chambre ∞+1.

Mieux, dans le cas de l’ajout d’une infinité de clients, le client de la chambre ∞ se retrouve dans le cas qu’on avait voulu éviter pour un seul client, c’est à dire qu’il n’arrivera jamais à la chambre 2∞ car il a ∞ chambres à dépasser, il n’arrivera jamais "au bout".

Ce qui nous renvoie à l’objection de Georg Cantor évoquée plus haut, c'est à dire qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables:

Monsieur Hilbert, votre hôtel a-t-il un cardinal ?

paradoxehilbert

hôtelhilbert

hôtelinfinihilbert

hôtelinfini

Sources

https://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert

https://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

Photos

Hotel infini

Photo de Joel Filipe sur Unsplash

https://images.unsplash.com/photo-1490093158370-1a6be674437b?q=80&w=1914&auto=format&fit=crop&ixlib=rb-4.0.3&ixid=M3wxMjA3fDB8MHxwaG90by1wYWdlfHx8fGVufDB8fHx8fA%3D%3D

Une bijection simple sur quatre éléments.

Par Jochen Burghardt — Travail personnel, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=38811052

Ajout d'une personne dans un hôtel de Hilbert plein: chaque client se déplace d'une chambre pour libérer la chambre 1

Par HB — Ce fichier est dérivé de : Hilbert Hotel he.PNGde דוד שי, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=132136906

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Hilbert_Hotel_fr.svg/1280px-Hilbert_Hotel_fr.svg.png

Accueil d'une infinité de clients supplémentaires

Par Jan Beránek — Travail personnel, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=81871954

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Hilbert%27s_Hotel.png/1920px-Hilbert%27s_Hotel.png

grain de sel

Image par <a href="https://pixabay.com/fr/users/bru-no-1161770/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=3285024">Bruno</a> de <a href="https://pixabay.com/fr//?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=3285024">Pixabay</a>

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Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

Jean Marie Champeau

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