Des illusions d'optique et des autres, les inventeurs et les explications. Des IVNOs,(I)llusions (V)isuelles de (N)ature (O)ptique. Des curiosités, des pseudo-démonstrations et des biais cognitifs, leurs applications, dans la publicité, dans la guerre ou dans la vie courante.

Les illusions, les Dés non transitifs

par Jean Marie Champeau 28 Mars 2025, 03:00 curiosité de calcul

Les Dés non transitifs

Le jeu "pierre-feuille-ciseaux" ou chifoumi.

Tout le monde à joué un jour à "pierre-feuille-ciseaux".

Appelé souvent "chifoumi", dans ce jeu chaque joueur forme simultanément une, parmi plusieurs armes, symbolisées par la forme de la main et dont les rapports d'efficacité suivent un cycle : "la pierre" aussi appelée "caillou" bat les ciseaux, qui battent "la feuille", qui elle-même bat "la pierre"(*1).

On dit que ce jeu est "non transitif" car le vainqueur de l'un, n'est pas le vainqueur de l'autre (*2).

D'autres jeux peuvent justifier ce qualificatif mais on ne s'attendrait pas à y trouver le jeu de dés.

L’idée de créer des dés "non transitifs" n’est pas nouvelle et remonte à la fin des années 1960.

Des dés

Des dés non transitifs forment un ensemble de dés où, si un premier dé a plus de chances de donner un plus grand résultat qu'un deuxième et si celui-ci a plus de chance qu'un troisième, ce dernier a tout de même plus de chance de l'emporter sur le premier.

(les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Dans cet exemple, le Dé1 a plus de chances de gagner sur le Dé2 qui a lui-même plus de chances de l'emporter sur le Dé3, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que le Dé1.

Soit le jeu de trois dés à 6 faces :

- le premier dé porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ses faces ;

- le second dé porte {1,1,6,6,8,8} ;

- le troisième porte {3,3,5,5,7,7}.

Les combinaisons des jeux sont les suivantes :

La probabilité que le premier dé donne un plus grand nombre que le second dé est 5/9 car sur les 9 possibilités, le premier dé l'emporte 5 fois.

la probabilité que le second dé donne un plus grand nombre que le troisième est 5/9 ;

la probabilité que le troisième donne un plus grand nombre que le premier est 5/9.

- - -

(*1) Dans le jeu"pierre-feuille-ciseaux", comme la probabilité de gagner est de 1/3 pour chaque choix, la stratégie optimale consiste à choisir les coups de façon aléatoire, de manière équiprobable.

En revanche, des études comportementales sur le jeu Pierre-Feuille-Ciseaux ont révélé des tendances intéressantes dans le choix des joueurs. Statistiquement, "pierre" est le choix initial le plus fréquent, suivi de "feuille" et enfin de "ciseaux" .

En partant de cette observation, il peut être judicieux de commencer par "feuille" pour maximiser vos chances contre un adversaire qui opte spontanément pour "pierre". Cette stratégie repose sur l'exploitation des probabilités générales des choix humains.

Les joueurs ont souvent des schémas de comportement prévisibles, notamment après une défaite. Par exemple, une tendance commune consiste à choisir l'option qui aurait battu leur dernier choix perdant. Si votre adversaire a perdu en jouant "ciseaux", il est probable qu'il opte pour "pierre" lors de la prochaine tournée.

- - -

(*2) La transitivité c’est quand un truc A est plus grand qu’un truc B et que B est plus grand que C, et que en conclusion A est plus grand que C.

En termes d’amitié, on pourrait affirmer "Tous les amis de mes amis sont mes amis."

En mathématiques, la transitivité est une propriété éventuelle d'une relation binaire quand à chaque fois que l'on a trois éléments x, y et z tels que "x" et "y" sont en relation R, ainsi que "y R z", alors "x R z".

Dans la non-transitivité, A est paradoxalement plus petit que C.

- - -

D’autres dés

Dans les années 1970, des grosses têtes se sont penchés sur le sujet.

Un jeu de quatre dés non transitifs a été inventé par Bradley Efron, un statisticien américain qui a créé Les 4 dés d'Efron.

Suivent en 1975 les trois Dés de Miwin inventés par le physicien allemand Michael Winkelmann.

Dans les années 2000, le mathématicien britannique James Grime, connu du grand public anglophone, a laissé son nom à une nouvelle curiosité mathématique, un ensemble de cinq dés cubiques de couleurs différentes.

La particularité vient des chiffres inscrits sur les faces : le dé rouge possède cinq faces marquées d'un 4 et une face d'un 9, le bleu a trois faces 2 et trois faces 7, le vert cinq faces 5 et une face zéro, le jaune quatre faces 3 et deux faces 8, et le violet deux faces 1 et quatre faces 6.

Lançons simultanément le dé rouge et le bleu.

La probabilité que le résultat du dé rouge soit plus grand que celui du dé bleu est supérieure à 1/2 puisqu’ il est supérieur dans 21 cas sur 36.

Autrement dit, le dé rouge est "plus fort" que le dé bleu.

De même, le dé bleu est plus fort que le dé vert, qui lui-même est plus fort que le jaune, qui à son tour est plus fort que le violet, lequel est plus fort que le rouge. . .

Si vous avez bien suivi, vous percevez une situation de non-transitivité, que l'on peut sommairement noter : rouge > bleu > vert > jaune > violet > rouge.

La curiosité pointée par James Grime est plus surprenante encore : si on lance les dés deux par deux et que l'on additionne les résultats, alors le résultat obtenu avec deux dés rouges est inversement plus petit que le résultat obtenu avec deux dés bleus, j’ai vérifié.

En poursuivant les calculs, on observe que l'ordre est entièrement inversé, ce que l'on peut résumer avec la formule 2 x rouge < 2 x bleu < 2 x vert < 2 x jaune < 2 x violet < 2 x rouge.

L'existence de situations aussi paradoxales a motivé les mathématiciens américains Joe Buhler, Ron Graham et Al Hales à étudier s'il existait des ensembles de dés encore plus extrêmes.

La preuve, publiée au printemps 2018, a montré qu’il y a un grand nombre de possibilités qui augmentent de façon exponentielle en fonction du nombre de dés.

Désnontransitifs

troisdés

Sources

https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9s_non_transitifs

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-feuille-ciseaux

https://www.larecherche.fr/chronique-math%C3%A9matiques/jeu-de-d%C3%A9s-terriblement-non-transitifs

https://forum.trictrac.net/t/article-les-comptes-de-grime-ou-des-des-surprenants/213010

https://www.techno-science.net/definition/10550.html

https://fr.wikipedia.org/wiki/Relation_transitive

https://singingbanana.com/dice/article.htm

Photos

"pierre-feuille-ciseaux" ou chifoumi.

<a href="https://fr.vecteezy.com/vecteur-libre/papier">Papier Vecteurs par Vecteezy</a>

https://fr.vecteezy.com/art-vectoriel/14320357-mains-dans-le-poing-et-symbole-de-victoire

Un exemple de dés non transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Par User:Booyabazooka — Travail personnel, Domaine public, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5343384

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Intransitive_dice_2.svg/1920px-Intransitive_dice_2.svg.png

Dé de GRIME Rouge

https://cdn.trictrac.net/discourse/original/3X/3/9/39f971904d215ba610b04f5a9bc87672a94fcfd5.png

Dé de GRIME bleu

https://cdn.trictrac.net/discourse/original/3X/1/a/1a320f6be391d63ee8695aca936fc18e56871fe3.png

Dé de GRIME jaune

https://cdn.trictrac.net/discourse/original/3X/f/6/f6861551f24ef40c4220fcf68ad39bf426dc3ace.png

Dé de GRIME vert

https://cdn.trictrac.net/discourse/original/3X/a/8/a8180037ba0342d3377eac9cef0dab46abfa4122.png

Dé de GRIME violet

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Dé de GRIME Rouge

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Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

Jean Marie Champeau

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