Des illusions d'optique et des autres, les inventeurs et les explications. Des IVNOs,(I)llusions (V)isuelles de (N)ature (O)ptique. Des curiosités, des pseudo-démonstrations et des biais cognitifs, leurs applications, dans la publicité, dans la guerre ou dans la vie courante.

Les illusions, Le paradoxe de l’escargot sur un élastique

par Jean Marie Champeau 18 Octobre 2023, 02:00 curiosité de calcul

L’escargot sur un élastique

Un escargot est placé sur une corde élastique de 100m de long.

Il avance à la vitesse de 1m à l’heure.

Manque de chance, un géant tire sur cette corde élastique et l’étire de telle manière qu’elle gagne 100m toutes les heures.

L’escargot réussira-t-il à atteindre le bout de cette corde ?

Le paradoxe

Le point rouge sur l'élastique, vitesse 1 cm/s. L'élastique étiré à 2 cm/s.

La réponse est contre-intuitive, mais c'est oui!

Le phénomène tient au fait que le ruban s'étire devant et derrière l’escargot, conservant la proportion de corde déjà faite et lui permettant de poursuivre sa progression.

Démonstration

Quelques essais pour comprendre

Au départ, au temps 0, l’escargot est posé sur une extrémité de la corde qui mesure 100m, il avance à la vitesse de 1m à l’heure.

1h plus tard, l’escargot a eu le temps d’avancer d’1m. Le géant a tiré sur la corde et l’a rallongée de 100m.

La corde est passé donc de 100m à 200m, elle a doublé de longueur. On en déduit que l’escargot lui aussi a profité de ce rallongement. Il se situe maintenant à 2m de son point de départ.

2h plus tard, l’escargot a eut le temps de parcourir un mètre de plus. Il se trouverait donc maintenant à 3m de son point de départ.

Pendant ce temps, le géant a tiré sur la corde pour la rallonger de 100m. Elle mesure maintenant 300m. Sa longueur a donc été multipliée par 300/200=3/2=1,5.

Comme l’agrandissement a été uniforme, l’escargot est réellement à 3m x 3/2 = 9/2 = 4,5m de son point de départ.

3h plus tard, l’escargot a eut le temps de parcourir un mètre de plus. Il se trouverait maintenant à (4,5+1)=5,5m de son point de départ.

Mais le géant a aussi fait son office pour rallonger la corde de 100m. Elle mesure maintenant 400m. Sa longueur a donc été multipliée par 400/300=4/3
Comme l’agrandissement a été uniforme, l’escargot est à : 5,5×4/3=22/3m de son point de départ.

Le coup suivant sera (500/400) pour la corde et pout l’escargot (22/3+3/3) x 5/4 = 125/12m

Ci contre on voit le relevé des premières étapes.

L’escargot est bien lent, la corde grandit bien vite, l’écart augmente… mais il n’augmente pas tant que cela.

Il semble même que la progression de l’écart se ralentit peu à peu. . .

Si on note E la distance parcourue par l’escargot et C la longueur de la corde en mètres, on a :

E₀ et C₀ la distance parcourue par l’escargot et la longueur de la corde au temps 0,

E₁ et C₁ la distance parcourue par l’escargot et la longueur de la corde au bout d’1 heure, etc. . .

A la 4eme heure, on a :

E₄ = E₃ x 5/4 + 5/4

E₄ = ((E₂ +1) x 4/3) x 5/4 + 5/4 = (E₂ + 1) x 20/12 + 5/4

E₄ = (E₂+ 1) x 5/3 + 5/4 = E₂ x 5/3 + 5/3 + 5/4

E₄ = ((E₁ + 1) x 3/2) x 5/3 + 5/3 + 5/4 = (E₁ + 1) x 15/6 + 5/3 + 5/4

E₄ = (E₁ + 1) x 5/2 + 5/3 + 5/4 = E₁ x 5/2 + 5/2 + 5/3 + 5/4

E₁ = 2 => E₄ = 2 x 5/2 +5/2+5/3+5/4 = 5+5/2+5/3+5/4

E₄ = 5( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4)

On voit que la progression de l’avance de l’escargot est de la forme :

E_n = 1(n+1)( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . + 1/n)

La progression de la corde est de la forme :

C_n = 100(n+1)

La question consiste à se demander s’il existe un rang n à partir duquel E_n ≥ C_n:

(n+1) ( 1 + 1/2 + 1/3 +. . .+ 1/n) ≥ 100(n+1)

1 + 1/2 + 1/3 +. . . + 1/n ≥ 100

L’escargot atteindra le bout de la corde élastique quand cette série dépassera 100.

Cette série de la somme des inverses des nombres entiers est une célébrité des mathématiques. On l’appelle la série harmonique(*1), qu’on note H_n :

H_n = 1+1/2+1/3+1/4+ . . . +1/n

- - -

(*1) Une série est une somme infinie de termes. Pour la comprendre on se demande comment elle évolue. S’approche-t’elle d’un nombre particulier ? On dit dans ce cas qu’elle converge. Approche t’elle de l’infini ? On dit qu’elle diverge. . . ou rien.

Nicole Oresme(*2), un mathématicien du moyen-âge a répondu à cette question.

- - -

(*2) Nicole Oresme, est un mathématicien normand(*3) du moyen-âge.

(Nicole était un prénom tant masculin que féminin au Moyen Âge, de nos jours l’équivalent masculin est Nicolas)

L'une des principales contributions que l'on doit à Nicole Oresme est la traduction en français de nombreux textes anciens de référence, en mathématique, politique, et biologie.

Il a développé la première méthode de calcul des puissances avec des exposants irrationnels fractionnaires, c’est-à-dire le calcul avec des proportions irrationnelles.

On lui doit également la première démonstration de la divergence de la série harmonique.

- - -

(*3) Plus précisément de Fleury-sur-Orne dans le Calvados. Originellement nommée "Allemagne", la commune a été rebaptisée Fleury-sur-Orne par décision du conseil municipal le 23 août 1916, en hommage au village Fleury-devant-Douaumont situé dans le département de la Meuse, détruit en 1916 pendant la bataille de Verdun. Le nom d’"Allemagne" étant plutôt lourd à porter en 1916 !

- - -

La série harmonique

Limite de la suite harmonique. — Limite de la suite

Le mathématicien du moyen-âge a montré la limite de cette suite.

Quand n tend vers l’infini, la suite tend aussi vers l’infini.

On dit que la série harmonique diverge vers +∞

L’escargot va atteindre le bout de la corde élastique quand la série harmonique dépassera le nombre 100.

Se demander pour quel n entier :

H_n > 100

Revient à se demander(*4) :

ln(n) >100

- - -

(*4) Il y a une manière de s’approcher de la série harmonique.

Suite harmonique et fonction 1/x. — Suite harmonique et fonction 1/x

L’idée consiste à interpréter la série harmonique comme la somme des aires de rectangles dont un côté mesure une unité et dont l’autre côté correspond aux inverses des nombres entiers(1/x).

Cette manière de faire permet naturellement de se questionner sur l’aire sous la courbe qui représente la fonction inverse 1/x.

Par définition, cette aire est définie par le logarithme népérien, noté (ln).

Comme on le constate sur la figure ci-dessus, il y a un petit écart entre l’aire sous la courbe et la série harmonique. Plus précisément, la série harmonique est supérieure à l’aire sous la courbe de la fonction inverse prise à partir de l’abscisse 1.

Cet écart est relativement petit en rapport avec notre problème d’escargot et de géant.

On peut admettre que la série harmonique et la fonction logarithme népérien ont un comportement semblable.

- - -

De la même manière que la fonction racine est la fonction inverse des puissances et donc leurs solutions, la valeur inverse de la fonction logarithme népérien(ln), est la fonction exponentielle notée eⁿ.

ln(n) =100 a pour solution e¹⁰⁰

L’escargot mettra e¹⁰⁰ heures.

La réponse est impressionnante !

e¹⁰⁰ ≈ 26881171418161354484126255515800135873611118 ≈ 2,688×10⁴³

C’est 10²⁹ fois plus que l’âge de l’univers !

Oui, l’escargot atteindra le bout de la corde élastique, pour autant que nous soyons patients et que l’escargot et le géant vivent jusque là !

paradoxeescargotelastique

paradoxeelastique

escargotelastique

Sources

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/TrgLeibn.htm#ver

https://fr.wikipedia.org/wiki/Problème_de_la_fourmi_sur_un_élastique

https://pi.ac3j.fr/escargot-geant-corde/

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicole_Oresme

Photos

escargot

Image de https://fr.freepik.com/photos-gratuite/fond-pate-modeler-angle-eleve-escargot_31843059.htm#query=escargot&position=2&from_view=search&track=sph

Freepik

https://img.freepik.com/photos-gratuite/fond-pate-modeler-angle-eleve-escargot_23-2149700384.jpg?w=740&t=st=1678571552~exp=1678572152~hmac=586ba4a83d358578e730191de1d045da5e73302b154f95f39e60dfd7ac502e68

Point rouge sur l'élastique, vitesse 1 cm/s. L'élastique étiré à 2 cm/s.

Par Deacon Vorbis — Travail personnel, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=87203167

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/75/Ant_on_a_rubber_rope_animation.gif

premières valeurs

https://pi.ac3j.fr/wp-content/uploads/2019/02/tab1.png

Suite harmonique et fonction 1/x

http://pi.ac3j.fr/wp-content/uploads/2019/02/Harmonique.gif

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Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

Jean Marie Champeau

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