Le paradoxe de Penney

par Jean Marie Champeau 24 Avril 2021, 09:32 illusion curiosité

 

Le paradoxe de Penney a été formulé en 1969 par Walter Francis Penney (et non son fils Walter Hermann, avec qui il est parfois confondu)

Ce paradoxe survient dans une succession de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée, comme dans les expériences de Bernoulli :

P(pile) = P(face) = 1/2

Description de l’expérience

Un jeu inéquitable

Dans le "jeu de Penney", deux joueurs J et J' s'affrontent en surveillant l'apparition des séquences (pile, pile, face) et (face, pile, pile) parmi la succession des tirages :

  • J est gagnant si (pile, pile, face) survient avant celle de son adversaire.
  • J' est gagnant si (face, pile, pile) survient avant.

À première vue, le jeu peut sembler équitable : dans toute séquence de trois tirages consécutifs, (pile, pile, face) et  (face, pile, pile) ont la même probabilité de survenir (1/8), une chance sur les 23 possibilités.

Cependant, un peu d'attention montre que J' possède en fait un net avantage. Pour s'en convaincre, distinguons selon le résultat du premier tirage :

  • Si c'est face, J est mal parti ! Pour qu'il gagne, deux pile consécutifs devraient survenir. Mais cela aurait fait gagner J' auparavant. J peut tout au plus reculer l'échéance en obtenant sans cesse des face successifs... On ne peut pas dire que J' est sûr de gagner, mais seulement quasi-sûr : il gagne avec une probabilité 1.
  • Si c'est pile, regardons le deuxième tirage :

        ◦ si c'est face, alors comme précédemment, J ne peut plus gagner. J' l'emporte quasi-sûrement.
        ◦ si c'est pile, alors J est content car c'est à son tour d'être quasi-sûr de gagner.

Le résultat de ces considérations est confirmé par un calcul complet : J n'a bel et bien qu'une chance sur 4 de gagner, correspondant à (pile, pile) initial. 

Trois fois moins de chance que  J' !

Celui qui choisit la séquence commençant par un double tirage à trois fois moins de chance que celui qui choisit une séquence commençant par une alternance.

Ce résultat est étonnant, mais là ne réside pas le paradoxe de Penney.

Le paradoxe                                                  

Une autre façon d'envisager le paradoxe consiste à mesurer le temps moyen d'attente de la configuration (pile, pile, face) et de la configuration (face, pile, pile).
En termes rigoureux, on recherche l'espérance  de la  variable aléatoire X égale au rang d'apparition du premier (pile, pile, face), et celle de X', rang du premier (face, pile, pile).

Pour calculer ces espérances, il faut connaître les lois de X et de X', c’est à dire, les probabilités qu'elles prennent une valeur "n" donnée. 

Ces lois n'ont pas d'expressions sympathiques, mais on constate assez facilement que ce sont les mêmes !

Ainsi, en moyenne, on attend (pile, pile, face) aussi longtemps que (face, pile, pile).

Il est possible de calculer cette espérance, c’est à dire le temps moyen d'attente en nombre de tirages: elle vaut 8, pour X comme pour X'.

C'est là le paradoxe : le premier de ces tirages ne survient qu'une fois sur 4 avant le deuxième, bien que leur temps d'attente moyen soit identique.

Le "paradoxe de Penney" constitue ainsi un contre-exemple montrant que si deux variables aléatoires X et X' suivent la même loi, on n'a pas forcément pour autant P(X < X') = P(X > X').

Celui qui choisit la séquence commençant par un double tirage à trois fois moins de chance que celui qui choisit une séquence commençant par une alternance et ne survient qu'une fois sur 4 avant le deuxième, bien que leurs temps d'attente moyens soient identiques.    

Moralité

       
Ce qui crée le déséquilibre des chances provient du nécessaire double tirage « Pile » que doit réaliser J pour gagner et qui surtout est le même que le double tirage de la fin de séquence de son adversaire. 


Moralité si on vous propose un jeu basé sur une séquence de plusieurs tirages à « Pile » ou « Face », choisissez de commencer par une alternance de tirages et de finir par un double tirage.
 

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