Les illusions, le paradoxe de Penney

par Jean Marie Champeau 24 Avril 2021, 09:32 curiosité logique

 

Le paradoxe de Penney a été formulé en 1969 par Walter Francis Penney (et non son fils Walter Hermann, avec qui il est parfois confondu)

 

Ce paradoxe survient dans une succession de tirages à pile ou face avec une pièce équilibrée, comme dans les expériences de Bernoulli :

 

P(pile) = P(face) = 1/2

 

Description de l’expérience

 

Un jeu inéquitable

 

Dans le "jeu de Penney", deux joueurs J et J' s'affrontent en surveillant l'apparition des séquences (pile, pile, face) et (face, pile, pile) parmi la succession des tirages :

 

  • J est gagnant si (pile, pile, face) survient avant celle de son adversaire.
  • J' est gagnant si (face, pile, pile) survient avant.

 

À première vue, le jeu peut sembler équitable : dans toute séquence de trois tirages consécutifs, (pile, pile, face) et  (face, pile, pile) ont la même probabilité de survenir (1/8), une chance sur les 23 possibilités.

 

Cependant, un peu d'attention montre que J' possède en fait un net avantage. Pour s'en convaincre, distinguons selon le résultat du premier tirage :

 

  • Si c'est face, J est mal parti ! Pour qu'il gagne, deux pile consécutifs devraient survenir. Mais cela aurait fait gagner J' auparavant. J peut tout au plus reculer l'échéance en obtenant sans cesse des face successifs... On ne peut pas dire que J' est sûr de gagner, mais seulement quasi-sûr : il gagne avec une probabilité 1.

 

  • Si c'est pile, regardons le deuxième tirage :

        ◦ si c'est face, alors comme précédemment, J ne peut plus gagner. J' l'emporte quasi-sûrement.
        ◦ si c'est pile, alors J est content car c'est à son tour d'être quasi-sûr de gagner.

 

Le résultat de ces considérations est confirmé par un calcul complet : J n'a bel et bien qu'une chance sur 4 de gagner, correspondant à (pile, pile) initial. 

 

Trois fois moins de chance que  J' !

 

Celui qui choisit la séquence commençant par un double tirage à trois fois moins de chance que celui qui choisit une séquence commençant par une alternance.

 

Ce résultat est étonnant, mais là ne réside pas le paradoxe de Penney.

 

Le paradoxe

                                              

Une autre façon d'envisager le paradoxe consiste à mesurer le temps moyen d'attente de la configuration (pile, pile, face) et de la configuration (face, pile, pile).
En termes rigoureux, on recherche l'espérance  de la  variable aléatoire X égale au rang d'apparition du premier (pile, pile, face), et celle de X', rang du premier (face, pile, pile).

 

Pour calculer ces espérances, il faut connaître les lois de X et de X', c’est à dire, les probabilités qu'elles prennent une valeur "n" donnée. 

 

Ces lois n'ont pas d'expressions sympathiques, mais on constate assez facilement que ce sont les mêmes !

 

Ainsi, en moyenne, on attend (pile, pile, face) aussi longtemps que (face, pile, pile).

Il est possible de calculer cette espérance, c’est à dire le temps moyen d'attente en nombre de tirages: elle vaut 8, pour X comme pour X'.

 

C'est là le paradoxe : le premier de ces tirages ne survient qu'une fois sur 4 avant le deuxième, bien que leur temps d'attente moyen soit identique.

 

Le "paradoxe de Penney" constitue ainsi un contre-exemple montrant que si deux variables aléatoires X et X' suivent la même loi, on n'a pas forcément pour autant P(X < X') = P(X > X').

 

Celui qui choisit la séquence commençant par un double tirage à trois fois moins de chance que celui qui choisit une séquence commençant par une alternance et ne survient qu'une fois sur 4 avant le deuxième, bien que leurs temps d'attente moyens soient identiques.    

 

Moralité

       
Ce qui crée le déséquilibre des chances provient du nécessaire double tirage « Pile » que doit réaliser J pour gagner et qui surtout est le même que le double tirage de la fin de séquence de son adversaire. 


Moralité si on vous propose un jeu basé sur une séquence de plusieurs tirages à « Pile » ou « Face », choisissez de commencer par une alternance de tirages et de finir par un double tirage.
 

 

 

 

paradoxepenney

Sources

http://math.pc.vh.free.fr/divers/paradoxes/penney.htm

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pile_ou_face#Paradoxe_de_Penney

 

 

Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :
commentaires

  • Depuis la création. . .

    90 pages, en moyenne, sont vues par jour.

    _______________________________________________
    naviguer sur le site - naviguer sur le site - naviguer sur
    ________________________________________________
    historique newsletter - historique newsletter - historique

     

    Abonnez vous, c'est gratuit! 

  • Articles récents

  • Liens

  • plan du site - plan du site - plan du site - plan du site -
    Arborescence du site.

    Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

    Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

    Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

    Jean Marie Champeau

    Présentation
         plan
         index

     

     

    La vision. L’œil. Les limites de l'oeil. La retine. L'envoi du signal. Le cerveau. L'acheminement du signal. Application dans la guerre. Les paniers du pharaon. Le cheval de Troie. Alexandre passe le gué. La stratégie du fort vide. Le siège de Yongqiu. Des toiles peintes comme toute protection. Ni vu ni connu. De la poudre aux yeux des anglais. C'est celui qui le dit qui y est. Le principe de Magruder. Le siège de Mafeking. Camouflage au front. Dazzle. Les navires Q. Les illusions de Munich. La fin des illusions pacifistes. Katyn. Operation Tracer. Demi echec à Aden. Pearl Harbor. Faire disparaître Alexandrie. Se faire passer pour une flotte de sous marins. Maleskyne. L'entreprise la plus étrange du monde. Déguiser la Californie. Jim le faussaire talentueux. L'évade deguisé. La machine Enigma. Operation Bertram. Un rôle étrange pour un hotel de Copenhague. Hedy Lamarr sème la panique. La radio pirate des alliés. Soldatensender Calais. Operation Mincemeat. L'homme qui n'a jamais existé. Operation Copperhead. Le sosie de Montgomery. Un chiffon rouge pour le taureau nazi. Boeing B29. Operation Fortitude. Operation Ferdinand. Des chars sculptés à Iwo Jima. Armes miracle d'Hitler. Le débarquement d'Incheon. Des missiles à Cuba. Double ruse aux iles Falkland. Malouines. L'opération Just Cause. IraQ. Irak. Les couveuses du Koweit. Les armes de destruction massive. Le mot guerre. Application dans la publicité. L’alcool. Les camions. La consommation. Films et livres. Dans la nature. Les supports. Le tabac. Dans l'automobile. Lles logos. Les logos qui ont mal tourné. Inspirées d'Escher. Provocations voulues. Trompe-l'oeil.Application dans la vie courante. Camouflage automobile. Les images subliminales. L'anamorphose. La pareidolie. La prosopagnosie. Le daltonisme. Le camouflage animalier. Dans les feuilles. Dans les branches. Le monde marin. Sur le sol. Les animaux transparents. Les objets. Dans la mode. La couleur. La matière. Le temps. L'Univers. Le Gogol. Les jeux de hasard. Les emplois verts. L'indice des prix. La gratuité. Le Puzzle de Lewis Caroll. Le ruban de mobius. Les objets impossibles de penrose. La formule de heron. Le théoreme de marion. Le theoreme de van aubel. Le theoreme de thebault. Le theoreme de pitot. Le theoreme de viviani. Le theoreme de morley. Le theoreme des 7 cercles. Le theoreme du carreleur. Les pavages de truchet. Le theoreme des 4 couleurs. Les-illusions-dans-les-textes. Les illusions dans les chiffres. Le paradoxe de berry. Les illusions le hareng rouge. Les kakemphatons. Les palindromes. Les pangrammes. le probleme de monty-hall. Le paradoxe d abilene. Le paradoxe de simpson. Le paradoxe des anniversaires. La loi de benford. Le paradoxe de penney. Le probleme de la belLe au bois dormant. Le paradoxe des trois pieces de monnaie. Le paradoxe du fromage a trous. Le paradoxe de L'abondance. Le paradoxe de newcomb. Le paradoxe de L'oeuf ou de la poule. Le dilemme du prisonnier. Le paradoxe de braess. Le paradoxe de jevons. Le paradoxe de L'amitie. Le paradoxe de saint petersbourg. Le paradoxe du menteur. Le paradoxe de curry. Le paradoxe d olbers. Le paradoxe de bentley. Le paradoxe de fermi. Le rasoir d ockham. Le paradoxe du petit monde. Le paradoxe de parrondo. la loi de littlewood. Le paradoxe de grelling nelson. Le paradoxe sorite. L'antilogie. La conjecture de syracuse. Le paradoxe de la pomme de terre. la conjecture de gilbreath. La conjecture de goldbach. Le paradoxe de condorcet. Le paradoxe de la serie de grandi. Le paradoxe de l'alabama. Le paradoxe du vote. Le paradoxe d'ostrogorski. Le paradoxe d'arrow. L'argument de L'apocalypse. Le paradoxe de la trompette de gabriel. Le nombre 26. Les nombres univers. Le paradoxe de L'escargot sur un elastique. Le paradoxe de la tailLe double. Le paradoxe des feuilles de thé. La malediction des ressources naturelles. Le paradoxe de faraday. L'effet mpemba. Le paradoxe de l'hormese. Les aiguilles de buffon. L'effet dunning kruger. du son. du silence. La loi de murphy. L'illusion de baader meinhof. La loi de futilite de parkinson. La loi de weber fechner. L'effet de superiorite de l'image. La tachypsychie. L'argument du reve. Le paradoxe de l'epargne. Le paradoxe de la tolerance. La cryptomnesie. Le galop de gish. Le paradoxe de l'eau et du diamant. L'effet repere du regard. Le prix psychologique. Le syndrome de stockholm. Le syndrome de lima.   

    Application dans l'architecture. Moderne. Parthénon. Eglises. Application dans l'art. Les objets impossibles de Esher.

Haut de page

Theme: Autofocus © 2024 - Hébergé par Overblog