Le paradoxe des anniversaires

par Jean Marie Champeau 20 Avril 2021, 07:39 illusion curiosité

Gâteau d'anniversaire.

Combien de personnes faut-il réunir pour que la probabilité que deux d'entre elles aient le même jour anniversaire, mais pas nécessairement la même année ? 

Avec 366 personnes en réunion, on est certain que deux soient nées le même jour. 
On répondra donc sans réfléchir, comme il se doit : 366/2 = 183 ! 

C'est assez éloigné de la bonne réponse.
 

description  

Cherchons plutôt la probabilité "Pn" pour que "n" personnes n'aient aucun anniversaire en commun.
(dans le cas de la probabilité P d’avoir « au moins » un événement, il est souvent plus facile de calculer la probabilité de ne pas l’avoir puis de faire 1_P)

Si on ignore les années bissextiles, pour la première personne, P1 = 1 = 365/365. 

Avec deux personnes, la seconde (P2), peut être née n'importe lequel des 364 jours autres que l'anniversaire de la première. Donc :

P2 = 365/365 × 364/365.

Avec trois personnes, la troisième (P3) n'a plus le choix qu'entre 363 jours, donc : P3 = 365/365 × 364/365 × 363/365. On voit facilement se dessiner une formule générale :
 

formule générale de calcul des personne qui n'ont pas le même anniversaire.

 

Résolution

Pour avoir une chance sur 2 que deux personnes aient le même jour anniversaire, le problème  revient alors à résoudre Qn = 1−Pn > 1/2 soit Pn < 1/2. 

P23≃ 0,4927027657 < 1/2 < P22≃ 0,5243046923

Q23≃ 0,5073 = 50,73 %

23 personnes suffisent pour que deux personnes aient une chance sur deux d’avoir leur anniversaire le même jour. 

Mais à partir de combien de personnes en est-on quasi certain ? 

Voyons ça dans le liste des probabilités.

Probabilité d'anniversaire de 1 à 10 personnes.

. . .> 10 %

Probabilité d'anniversaire de 20 à 25 personnes.

. . . > 50 %

Anniversaires 50 à 60 personnes.

. . . > 99 %    

Comme on le voit à partir de 50 personnes on est à 97 % et 99 % à partir de 57 personnes.

La courbe ci dessous montre l’évolution de la probabilité selon le nombre de personnes.

courbe de la probabilité du nombre de personnes pour que deux aient le même anniversaire.

 

Applications

   
Le paradoxe des anniversaires est utilisé en cryptographie pour élaborer des attaques sur les fonctions de hachage(codes). Une des contraintes imposées sur ces fonctions, pour une utilisation cryptographique, est de produire peu de collisions, autrement dit, de rarement prendre la même valeur sur des entrées différentes. 


Plus concrètement, si une fonction de hachage a une sortie de N bits alors l'ensemble d'arrivée possède 2N éléments et il faut environ 2N/2 hachés d'éléments distincts pour produire une collision avec 50 % de chance. Les sorties de la fonction pouvant être comparées à des personnes avec des anniversaires se répartissant sur 2N valeurs. 

J'ai un truc pour se souvenir à vie de la date d'anniversaire de sa femme:
il suffit de l'oublier une fois !

Michel Galabru

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