Les illusions, le paradoxe des anniversaires

par Jean Marie Champeau 20 Avril 2021, 07:39 curiosité logique

Gâteau d'anniversaire.

Combien de personnes faut-il réunir pour que la probabilité que deux d'entre elles aient le même jour anniversaire, mais pas nécessairement la même année ? 

Avec 366 personnes en réunion, on est certain que deux soient nées le même jour. 
On répondra donc sans réfléchir, comme il se doit : 366/2 = 183 ! 

C'est assez éloigné de la bonne réponse.
 

description  

Cherchons plutôt la probabilité "Pn" pour que "n" personnes n'aient aucun anniversaire en commun.
(dans le cas de la probabilité P d’avoir « au moins » un événement, il est souvent plus facile de calculer la probabilité de ne pas l’avoir puis de faire 1_P)

Si on ignore les années bissextiles, pour la première personne, P1 = 1 = 365/365. 

Avec deux personnes, la seconde (P2), peut être née n'importe lequel des 364 jours autres que l'anniversaire de la première. Donc :

P2 = 365/365 × 364/365.

Avec trois personnes, la troisième (P3) n'a plus le choix qu'entre 363 jours, donc : P3 = 365/365 × 364/365 × 363/365. On voit facilement se dessiner une formule générale :
 

formule générale de calcul des personne qui n'ont pas le même anniversaire.

 

Résolution

Pour avoir une chance sur 2 que deux personnes aient le même jour anniversaire, le problème  revient alors à résoudre Qn = 1−Pn > 1/2 soit Pn < 1/2. 

P23≃ 0,4927027657 < 1/2 < P22≃ 0,5243046923

Q23≃ 0,5073 = 50,73 %

23 personnes suffisent pour que deux personnes aient une chance sur deux d’avoir leur anniversaire le même jour. 

Mais à partir de combien de personnes en est-on quasi certain ? 

Voyons ça dans le liste des probabilités.

Probabilité d'anniversaire de 1 à 10 personnes.

. . .> 10 %

Probabilité d'anniversaire de 20 à 25 personnes.

. . . > 50 %

Anniversaires 50 à 60 personnes.

. . . > 99 %    

Comme on le voit à partir de 50 personnes on est à 97 % et 99 % à partir de 57 personnes.

La courbe ci dessous montre l’évolution de la probabilité selon le nombre de personnes.

courbe de la probabilité du nombre de personnes pour que deux aient le même anniversaire.

 

Applications

   
Le paradoxe des anniversaires est utilisé en cryptographie pour élaborer des attaques sur les fonctions de hachage(codes). Une des contraintes imposées sur ces fonctions, pour une utilisation cryptographique, est de produire peu de collisions, autrement dit, de rarement prendre la même valeur sur des entrées différentes. 


Plus concrètement, si une fonction de hachage a une sortie de N bits alors l'ensemble d'arrivée possède 2N éléments et il faut environ 2N/2 hachés d'éléments distincts pour produire une collision avec 50 % de chance. Les sorties de la fonction pouvant être comparées à des personnes avec des anniversaires se répartissant sur 2N valeurs. 

J'ai un truc pour se souvenir à vie de la date d'anniversaire de sa femme:
il suffit de l'oublier une fois !

Michel Galabru

 

 

paradoxeanniversaires

Sources

http://math.pc.vh.free.fr/divers/paradoxes/anniv.htm

https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_des_anniversaires

Pour être informé des derniers articles, inscrivez vous :
commentaires

  • Depuis la création. . .

    90 pages, en moyenne, sont vues par jour.

    _______________________________________________
    naviguer sur le site - naviguer sur le site - naviguer sur
    ________________________________________________
    historique newsletter - historique newsletter - historique

     

    Abonnez vous, c'est gratuit! 

  • Articles récents

  • Liens

  • plan du site - plan du site - plan du site - plan du site -
    Arborescence du site.

    Ancien informaticien, j’ai toujours été fasciné par les illusions d’optique, mais aussi les illusions sous d'autres formes.

    Ces phénomènes nous en disent plus sur nous que nous le supposons.

    Pour moi ce sont des Illusions Visuelles de Nature Optique, IVNO, pour faire un clin d’oeil (façon de parler), au sigle OVNI où l’on évoque souvent les illusions d'optique dont les observateurs de bonne foi seraient les victimes.

    Jean Marie Champeau

    Présentation
         plan
         index

     

     

    La vision. L’œil. Les limites de l'oeil. La retine. L'envoi du signal. Le cerveau. L'acheminement du signal. Application dans la guerre. Les paniers du pharaon. Le cheval de Troie. Alexandre passe le gué. La stratégie du fort vide. Le siège de Yongqiu. Des toiles peintes comme toute protection. Ni vu ni connu. De la poudre aux yeux des anglais. C'est celui qui le dit qui y est. Le principe de Magruder. Le siège de Mafeking. Camouflage au front. Dazzle. Les navires Q. Les illusions de Munich. La fin des illusions pacifistes. Katyn. Operation Tracer. Demi echec à Aden. Pearl Harbor. Faire disparaître Alexandrie. Se faire passer pour une flotte de sous marins. Maleskyne. L'entreprise la plus étrange du monde. Déguiser la Californie. Jim le faussaire talentueux. L'évade deguisé. La machine Enigma. Operation Bertram. Un rôle étrange pour un hotel de Copenhague. Hedy Lamarr sème la panique. La radio pirate des alliés. Soldatensender Calais. Operation Mincemeat. L'homme qui n'a jamais existé. Operation Copperhead. Le sosie de Montgomery. Un chiffon rouge pour le taureau nazi. Boeing B29. Operation Fortitude. Operation Ferdinand. Des chars sculptés à Iwo Jima. Armes miracle d'Hitler. Le débarquement d'Incheon. Des missiles à Cuba. Double ruse aux iles Falkland. Malouines. L'opération Just Cause. IraQ. Irak. Les couveuses du Koweit. Les armes de destruction massive. Le mot guerre. Application dans la publicité. L’alcool. Les camions. La consommation. Films et livres. Dans la nature. Les supports. Le tabac. Dans l'automobile. Lles logos. Les logos qui ont mal tourné. Inspirées d'Escher. Provocations voulues. Trompe-l'oeil.Application dans la vie courante. Camouflage automobile. Les images subliminales. L'anamorphose. La pareidolie. La prosopagnosie. Le daltonisme. Le camouflage animalier. Dans les feuilles. Dans les branches. Le monde marin. Sur le sol. Les animaux transparents. Les objets. Dans la mode. La couleur. La matière. Le temps. L'Univers. Le Gogol. Les jeux de hasard. Les emplois verts. L'indice des prix. La gratuité. Le Puzzle de Lewis Caroll. Le ruban de mobius. Les objets impossibles de penrose. La formule de heron. Le théoreme de marion. Le theoreme de van aubel. Le theoreme de thebault. Le theoreme de pitot. Le theoreme de viviani. Le theoreme de morley. Le theoreme des 7 cercles. Le theoreme du carreleur. Les pavages de truchet. Le theoreme des 4 couleurs. Les-illusions-dans-les-textes. Les illusions dans les chiffres. Le paradoxe de berry. Les illusions le hareng rouge. Les kakemphatons. Les palindromes. Les pangrammes. le probleme de monty-hall. Le paradoxe d abilene. Le paradoxe de simpson. Le paradoxe des anniversaires. La loi de benford. Le paradoxe de penney. Le probleme de la belLe au bois dormant. Le paradoxe des trois pieces de monnaie. Le paradoxe du fromage a trous. Le paradoxe de L'abondance. Le paradoxe de newcomb. Le paradoxe de L'oeuf ou de la poule. Le dilemme du prisonnier. Le paradoxe de braess. Le paradoxe de jevons. Le paradoxe de L'amitie. Le paradoxe de saint petersbourg. Le paradoxe du menteur. Le paradoxe de curry. Le paradoxe d olbers. Le paradoxe de bentley. Le paradoxe de fermi. Le rasoir d ockham. Le paradoxe du petit monde. Le paradoxe de parrondo. la loi de littlewood. Le paradoxe de grelling nelson. Le paradoxe sorite. L'antilogie. La conjecture de syracuse. Le paradoxe de la pomme de terre. la conjecture de gilbreath. La conjecture de goldbach. Le paradoxe de condorcet. Le paradoxe de la serie de grandi. Le paradoxe de l'alabama. Le paradoxe du vote. Le paradoxe d'ostrogorski. Le paradoxe d'arrow. L'argument de L'apocalypse. Le paradoxe de la trompette de gabriel. Le nombre 26. Les nombres univers. Le paradoxe de L'escargot sur un elastique. Le paradoxe de la tailLe double. Le paradoxe des feuilles de thé. La malediction des ressources naturelles. Le paradoxe de faraday. L'effet mpemba. Le paradoxe de l'hormese. Les aiguilles de buffon. L'effet dunning kruger. du son. du silence. La loi de murphy. L'illusion de baader meinhof. La loi de futilite de parkinson. La loi de weber fechner. L'effet de superiorite de l'image. La tachypsychie. L'argument du reve. Le paradoxe de l'epargne. Le paradoxe de la tolerance. La cryptomnesie. Le galop de gish. Le paradoxe de l'eau et du diamant. L'effet repere du regard. Le prix psychologique. Le syndrome de stockholm. Le syndrome de lima.   

    Application dans l'architecture. Moderne. Parthénon. Eglises. Application dans l'art. Les objets impossibles de Esher.

Haut de page

Theme: Autofocus © 2024 - Hébergé par Overblog